«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна




Скачать 209.4 Kb.
Название«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна
страница1/3
Дата20.01.2013
Размер209.4 Kb.
ТипРешение
  1   2   3
Министерство образования и науки.

Республика Бурятия

МОУ Выдринская общеобразовательная
средняя школа



«Нестандартные методы решения

уравнений»


Выполнила:
Заяц Светлана Александровна


Ученица 10 класса А

Научный руководитель:

Ильюк Наталья Михайловна


с. Выдрино

2007г.


Содержание.

Введение ……………………………………………………………………………….3

Основная часть ………………………………………………………………………..4

Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...4

Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………4

Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….5

Введение параметра…………………………………………………………………….6

Введение новой неизвестной…………………………………………………………..6

Комбинация различных методов………………………………………………………6

Угадывание корня………………………………………………………………………6

Использование суперпозиции функции……………………………………………….7

Раскрытие знаков модулей……………………………………………………………..8

Уравнение вида f(x) = g(x)…………………………………………………………….8

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………9

Использование свойств абсолютной величины……………………………………….9

Понижение степени уравнения…………………………………………………………10

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………10

Использование ограниченности функций………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….14

Список использованной литературы …………………………………………………15


Введение

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В моей работе систематизирован ряд таких приёмов.

Я изучила методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций: монотонности, ограниченности, чётности; применении производной и др.

Моя работа может помочь учащимся и особенно тем из них, кто собирается поступать в высшие учебные заведения в области точных наук, разобраться какими легче и быстрее решить те или иные уравнения, потому что всех изученных по школьной программе методов недостаточно для поступления в ВУЗ.

Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных равенств.

Что касается теории, то она предоставлена выборочно, исходя из соображений её применения к тем уравнениям, которые я здесь рассмотрела.

Задачи работы:

  • Изучить умножение уравнения на функцию.

  • Изучить метод неопределённых коэффициентов.

  • Изучить подбор многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту.

  • Изучить введение параметра.

  • Изучить введение новой неизвестной.

  • Изучить комбинирование различных методов.

  • Изучить угадывание корня.

  • Изучить использование суперпозиции функции.

  • Изучить раскрытие знаков модулей.

  • Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

  • Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

  • Изучить использование свойств абсолютной величины.

  • Изучить понижение степени уравнения.

  • Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

  • Изучить использование ограниченности функции.



Основная часть


Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение:

X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение:

3 – Х 2 – 20Х + 12 = 0 (4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х + ½, получим уравнение:

4 + 2Х3 – 41/2Х2 + 2Х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2Х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:

3(Х2 +1/Х2) + (Х +1/Х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив Y= Х + 1/Х, перепишем уравнение (6) в виде

3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: Y1= -5/2 и Y 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

Х + 1/Х = 15/6,

Х + 1/Х = -5/2.

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)

Х1 =2/3,

Х2 = 3/2,

Х3 = -2,

Х4 = -1/2.

Так как корень Х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: Х1, Х2, Х3.

Ответ: Х1 =2/3, Х2 = 3/2, Х3 = -2.


Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.

  1. два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

  2. любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

  3. Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.

Пример 1. Разложить на множители многочлен.

Х3-5Х2+7Х-3

Решение. Будем искать многочлены Х - £ и β1Х2+ β2Х+ β3 такие, что справедливо тождественное равенство

Х3-5Х2+7Х-3= (Х - £)( β1Х2+ β2Х+ β3 ).(1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде. β15 Х3+( β2+ £ β1) Х2+( β3 -£ β2)Х+£ β3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения £ ,β1, β2, β3 ;

β1=1

β2 - £ β1 = -5

β3 - £ β2 =7

£ β3 =3

Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа β1=1, β2=-2, β3=1, £=3, а это означает, что многочлен Х3-5Х2+7Х-3 разлагается на множители Х-3 и Х2-2Х+1


Подбор корня многочлен по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

  1. если многочлен апп-1Х+…+а0Хп0≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень Х0=р/g ( где р/g – несократимая дробь, рЄZgЄN), то р – делитель свободного члена ап, а g – делитель старшего коэффициента d0;

  2. если каким – либо образом подобран корень Х= £ многочлена рп(Х) степени n, то многочлен рп(Х) можно представить в виде рп(Х) =(Х - £) рп-1(Х), где рп-1(Х) – многочлен степени n-1.

Многочлен рп-1(Х) можно найти либо делением многочлена рп(Х) на двучлен (Х - £) «столбиком», либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя Х - £, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример1. Разложить на множители многочлен.

Х4-5Х3+7Х2-5Х+6

Решение. Поскольку коэффициент при Х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т.е.могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим многочлен через р4(Х). Так как р4(1)=4 и р4(-4)=23, то числа 1 и -1не являются корнями многочлена р4(Х),и, значит, данный многочлен делится на двучлен Х-2. Поэтому

4 - 5Х3+7Х2-5Х+6 Х - 2

Х4 – 2Х3 Х3 – 3Х2+Х - 3



- 3 Х3+ 7 Х2

- 3 Х3+ 6 Х2



_ Х2 - 5Х

Х2 - 2Х




_ -3Х+6

-3Х+6

0

Следовательно, р4(Х)=(Х –2)(Х3 – 3Х2 + Х - 3). Так как Х3 – 3Х2 + Х – 3=Х2( Х -3) + ( Х -3)= =( Х -3)(Х2 +1), то Х4 - 5Х3+7Х2-5Х+6=(Х -2) ( Х -3)( Х2 +1).


Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода хорошо видна в следующем примере.

Пример1. разложить на множители многочлен.

X3 – (√3 + 1) X2 + 3

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром a:

X3 – (a + 1) X2 + a2 ,

который при a = √3 превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трёхчлен относительно a:

a2 – aX2 + (X3 – X2).

Так как корни этого квадратного относительно a трёхчлена есть a1 = X и a2 = X2 – X , то справедливо равенство a2 – aX2 + (X3 – X2) = (a – X)(a – X2 + X). Следовательно, многочлен X3 – (√3 + 1)X2 + 3 разлагается на множители √3 – X и √3 – X2 + X т.е.

X3 – (√3 + 1) = (X - √3) (X2 – X – √3).

Метод введения новой переменной.

В некоторых случаях путём замены выражения f(x), входящего в многочлен Pn(x), через y можно получить многочлен относительно y, который уже легко разложить на множители. Затем после замены y на f(x) получаем разложение на множители многочлена Pn(x).

Пример1. Разложить на множители многочлен.

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15.

Решение. Преобразуем данный многочлен следующим образом:

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15 = [X (X + 3)] [(X + 1) (X + 2)] – 15 = (X2 + 3X) (X2 + 3X + 2) – – 15.

Обозначим X2 + 3X через y. Тогда имеем

y (y + 2) – 15 = y2 + 2y – 15 = y2 + 2y + 1 – 16 = (y + 1)2 – 16 = (y + 1 + 4) (y + 1- 4) =

= (y + 5) (y – 3).

Поэтому

X (X + 1) (X + 2) (X + 3) – 15 = (X2 + 3X + 5) ( X2 + 3X + 3).

Пример2. Разложить на множители многочлен

(X – 4)4 + (X + 2)4.

Решение. Обозначим (X – 4 + X + 2)/2 = X – 1 через y. Тогда

(X – 4)4 + (X + 2)4 = (y – 3)4 + (y + 3)4 = y4 – 12y3 + 54y2 – 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[ (y2 + 27)2 – 648] =

= 2 (y2 + 27 – √648) (y2 + 27 + √648) = 2 ((X – 1)2 + 27 – √648) ((X – 1)2 + 27 + √648) =

= 2 (X2 + 2X + 28 – 18√2) (X2 – 2X + 28 +18√2).


Комбинирование различных методов.

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример 1.Разложить на множители многочлен

Х4 - 3Х2+4Х – 3

Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х4 – 2Х) – (Х2 – 4Х+3)

Применяя к первой скобки метод выделения полного квадрата, имеем.

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х2 – 1)2 – (Х – 2)2

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что

Х4 - 3Х2+4Х – 3=(Х2 – 1+Х – 2)(Х2 – 1 – Х+2)=(Х2+Х – 3)(Х2 – Х+1)


Угадывание корня уравнения.

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

Пример 1. Решите уравнение.

Х3+3Х – 123 – 3*12=0

Решение. Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что Х=12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

Х3+3Х – (123+ 3*12)=(Х3 – 123)+3(Х – 12)=(Х – 12)(Х2+12Х+122+3)=(Х – 12)(Х2+12Х+147)

Так как многочлен Х2+12Х+147 не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень Х=12.

Пример 2.Решите уравнение.

Х3 – 3Х=а3+1/а3, (1)

Где число а – отличное от нуля число.

Решение. Так как.

а3+1/а3=(а+а/1)3 – 3а2*1/а – 3а*1/а=(а+1/а)3 – 3(а+1/а),

то отсюда заключаем, что Х1=а+1/а есть один из корней исходного уравнения. Разделив многочлен Х3 – 3Х – а3-1/а3 на двучлен Х – а -1/а, получим, что.

Х3 - 3Х – (а3 – 1/а3)=(Х – а -1/а)[Х2+Х(а+1/а)+(а – 1/а)2 – 3], т.е. остальные корни уравнения (1) совпадают со всеми корнями уравнения.

Х2+Х(а+1/а)+(а+1/а)2 – 3=0 (2)

Дискриминант квадратного уравнения(2) есть

D=(а+1/а)2 – 4[(а+1/а)2 - 3]=3[4 – (а+1/а)2]= - 3(а – 1/а)2.

а) D> 0 быть не может

б) D=0 лишь при а=1 и при а= - 1.

Итак, уравнение(2) не имеет корней при а2≠1, имеет единственный корень Х= - 1 при а=1 и еще один корень Х=а+1/а, находим все корни исходного уравнения.

Ответ: при а=1 два корня Х1=2, Х2= - 1;

При а= -1 два корня Х1= -2,Х2=1

При а2≠1 и а≠0 один корень Х1=а+4/а.

  1   2   3

Похожие:

«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconТема №119: Уравнения и неравенства в курсе математики 10-11 классов Примерное содержание
Примерное содержание: Различные виды уравнений и неравенств, изучаемые в 10 -11 классах. Способы их решения. Нестандартные приемы...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconУрок по теме: Методы решения логарифмических уравнений
Систематизировать и обобщить знания, умения и навыки, связанные с применением методов решения логарифмических уравнений
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconГодовой курс по выбору (или два семестровых) численные методы решения гиперболических систем уравнений
Численные методы решения гиперболических систем уравнений // Осенний семестр: общий курс
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconПрограмма элективного курса по алгебре «Методы решения рациональных уравнений и систем уравнений» для учащихся 9 класса
В лучшем случае, они могут только угадывать корни в целых числах. Данный элективный курс позволит ликвидировать этот пробел. Учащиеся...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconТике "В мире уравнений и неравенств" для учащихся 11-х классов
Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат уравнения и неравенства, методы решения которых не...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconТема №121: Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств Примерное содержание
Решение уравнений вида tg t = m. Арктангенс. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. Решение тригонометрических...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconАпробирование мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”)
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции” путем проведения мастер-классов для учителей...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconПрезентация по алгебре и началам анализа по теме: «методы решения уравнений. Метод подстановки» (2 урока)
Открытый урок-презентация по алгебре и началам анализа по теме: «методы решения уравнений. Метод подстановки»
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconРадиофизический факультет
Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения...
«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна iconЛекция Содержание
Законы или правила Кирхгофа. Делители напряжений и токов. Возможные методы упрощения систем уравнений (метод узловых потенциалов...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница