Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1




Скачать 66.25 Kb.
НазваниеРаспределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1
Дата27.12.2012
Размер66.25 Kb.
ТипДокументы
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИСТОЧНИКАМИ В

РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ НА КЛАССАХ

КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ И ХЕВИСАЙДОВСКИХ ФУНКЦИЙ


1Е.Р. Ашрафова, 2Мусаев С.Р.


1,2Институт Кибернетики НАНА, Баку, Азербайджан,

y_aspirant@yahoo.com


При управлении реальными объектами реализация оптимальных управляющих воздействий из класса непрерывных, кусочно-непрерывных функций вызывает технические сложности. Поэтому важное практическое значение имеет решение задач оптимального управления на технически легко реализуемых классах функций [1-5]. К таким классам можно отнести системы с управляющими воздействиями из классов кусочно-постоянных, в частности, Хевисайдовских функций.

В математических моделях многих управляемых процессов в качестве управляющих воздействий используются функции Хевисайда. Ясно, что такие управления являются частным случаем кусочно-постоянных функций, но управления из класса функций Хевисайда представляют самостоятельный интерес с практической точки зрения, т.к. многие управляемые процессы на практике таковы, что управляющие воздействия принимают постоянные во времени значения и каждой из них включается только один раз. Задачи оптимального управления в классах кусочно-постоянных и Хевисайдовских функций рассмотрены в [3,4], для случая обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматриваются задачи оптимального управления сосредоточенными источниками в распределенных системах, когда управления принадлежат к классам кусочно-постоянных и Хевисайдовских функций.

В последние время возрос интерес к задачам управления движением источников той или иной субстанции, различной физической природы. Например, подвижные источники концентрации химического реагента, массы (напора) подземных вод, нефти (вообще вещества), импульса, напряжений, термонапряжений, тепла, звука, излучения, электромагнитных колебаний (вообще энергии), информации др.

Наряду с непрерывными перемещениями источника, возможны примеры, когда источник может перемещаться из одного положения в другое только скачком, и оптимальное подвижное управление необходимо искать в классе лишь таких скачкообразных перемещений.

Задачи оптимального управления движением источников и их интенсивностью (мощностью) исследовались многими авторами в классе кусочно-непрерывных функций [1,5]. В работе [5] исследована постановка задачи управления сосредоточенными источниками для двумерного случая, при этом оптимизация состоит в определении как оптимального закона движения источников (траектории и движения по ней), так и их интенсивности.

Рассмотрим более общие постановки задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, которые заключаются в минимизации функционала

(1)

при условии, что состояние управляемого объекта описывается следующей - мерной краевой задачей относительно параболического уравнения:

,,(2)

, , (3)

,,, (4)

.

Здесь , n – единичная нормаль к ; – фазовое состояние объекта, определяемое из решения краевой задачи (2)–(4) при соответствующем допустимом значении оптимизируемой управляющей вектор-функции ; – заданная вектор-функция; -мерное Евклидовое пространство; – заданное число управляющих воздействий (источников); ,, , , , – заданные функции и величины, определяющие исследуемый процесс и критерий управления им; , – обобщенная функция Дирака.

Представляет интерес случай, когда в задаче (1)-(4) оптимизируемыми являются функции , называемые краевыми управлениями.

Относительно положения источников могут быть рассмотрены следующие варианты:

1. Источники неподвижны, т.е.,

, , .

2. Источники подвижны и траектории их движения в определяются кусочно непрерывными функциями ,,.

3. Системы дифференциальных уравнений

, , , (5)

определяют законы движения источников, где , заданные начальные значения траектории источников; , – заданные вектор-функции; –управляющие воздействия на движение, при ограничениях , , т.е. механическое движение источников также могут являться управляемыми процессами.

Предполагается, что участвующие в задачах (1)-(4) функции и параметры удовлетворяют всем условиям существования и единственности решения краевой задачи.

В работе исследуются задачи оптимального управления для различных вариантов, относительно положения источников :

  1. Координаты расположения неподвижных источников - или траектории движения источников - заданы, процесс управляется только за счет мощности источников.

  2. Процесс управляется за счет мощности и законов движения источников и оптимизации координаты или траектории источников.

  3. Процесс управляется за счет мощности источников, определяемых системой дифференциальных уравнений (5).

Исследования относительно этих задач проведены для следующих классов управляющих воздействий.

1. Управляющие воздействия из класса кусочно-постоянных функций.

В этом случае управляющие функции:

,,

, , (6)

определяются конечномерным вектором т.е. значения управления постоянны на полуинтервалах и должны принадлежать некоторому допустимые множеству , в частности, следующему параллелепипеду

(7)

а определяют интервалы постоянства значения мощности того источника; заданное число интервалов для того источника.

2. Управляющие воздействия из класса функций Хевисайда.

В этом случае управляющие функции

, (8)

где – функция Хевисайда, определяются конечномерным вектором

, (9)

тая компонента которого являются мощностью того источника: , начинающего свое влияние в момент времени , . Пусть имеются ограничения на управляющие параметры:

. (10)

Здесь – заданы. Таким образом, каждая компонента управляющей вектор-функции (управления) является кусочно-постоянной функцией с одним переключением значения и определяется вектором , компонентами которого являются – время включения воздействия, и ее величина –, т.е.: , .

В работе классы управляющих функций вида (6), (8) использованы также в задачах краевого управления относительно .

Рассматриваемые задачи оптимального управления эквивалентны задачам оптимизации функционала в замкнутой допустимой области, следовательно, они имеют непустые множества оптимальных решений.

Так как в рассматриваемых задачах управление имеет разрывы, то классического решения задачи (2)–(4) не существует. Известно [6, 7], что при каждом допустимом управлении краевая задача (2)–(4) имеет, и притом единственное обобщенное решение.

Доказана теорема о выпуклости функционала для рассматриваемых классов функций.

Теорема 1. Если функционал является выпуклым на классе кусочно-непрерывных функций, тогда он выпукл и на классе кусочно-постоянных функций.

Относительно всех рассмотренных задач оптимального управления на классах кусочно-постоянных и Хевисайдовских функций получены необходимые условия оптимальности, содержащие формулы для градиента функционала в пространстве оптимизируемых параметров и позволяющие для решения задач оптимального управления использовать методы оптимизации первого порядка.

Аналогичные исследования несложно распространяются как на другие постановки краевых задач относительно параболических уравнений, так и на другие типы уравнений, описывающих процессы с распределенными параметрами.

В докладе будут приведены полученные результаты проведенных численных экспериментов и их анализ.


Литература

  1. А.Г. Бутковский, Л.М. Пустыльников Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. –М.: Наука гл.ред. физ.-мат. Лит. 1980, –384 с.

  2. G.A. Kolokolnikova, (1997). Variational Maximum Principle for Discontinuous Trajectories of Unbounded Asymptotically Linear Control Systems, Journal of Differential Equations, 33, 1633-1640.

  3. K.R. Aida-Zade, E.R. Ashrafova (2009). Control of Systems with Concentrated Parameters in a Class of Special Control Functions, Automatic Control and Computer Science, 43(3), 150-157.

  4. K.R. Aida-zade, A.B. Rahimov (2007). Solution of Optimal Control Problem in Class of Piece-wise constant Functions, Automatic Control and Computer Science, 41(1), 18-24.

  5. К.Р. Айда-заде, А.Б. Хандзель (1997). Двумерные задачи управления сосредоточенными источниками в распределенных системах, Известия АНА, с. 81-85.

  6. J.L. Lions Controle des systemes distributes singuliers. Gauthier, Willars, (1987).

  7. О.А. Ладыженская Краевые задачи математической физики, М .Наука, (1973), С. 408.







Похожие:

Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 icon1 кибернетика
Ляшко С. И., Семенов В. В. Об управляемости линейных распределенных систем в классах обобщенных воздействий
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconСеместровый курс «Современные методы распределенных вычислений» для студентов X семестра факультета информационных технологий Новосибирского государственного университета
Введение. Инженерия распределенных информационно-вычислительных систем: прошлое, настоящее, будущее. Шаблоны проектирования распределенных...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconСеместровый курс «Сетевые технологии» для студентов VI семестра факультета информационных технологий Новосибирского государственного университета
Фундаментальные основы программной инженерии распределенных систем. Задачи интеграции распределенных гетерогенных ресурсов. Концепция...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconСпецкурс Архитектура
Понятие распределенных систем программного обеспечения. Виды и свойства распределенных систем программного обеспечения. Виды архитектуры...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconСпецкурс Архитектура
Понятие распределенных систем программного обеспечения. Виды и свойства распределенных систем программного обеспечения. Виды архитектуры...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconЗащита информационных процессов в распределенных компьютерных системах
Приводятся результаты исследования возможности применения искусственной нейронной сети для обнаружения сетевых атак. Предлагается...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconПрограмно-методическое обеспечение образовательного процесса
Умк, используемые учителями гимназии, работающими по бупу- 2004 г в 1-4 классах, 5-6 классах, 9-11 классах и бупу – 1998 г в 7-8...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconClassification of two types of random process correlation function
В. В. Волгин, Р. Н. Каримов. «Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления»
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconЛ. А. Наумов Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Спектр их применения чрезвычайно широк [3–5]. Например, они могут быть использованы для моделирования распределённых систем (пространственно-протяжённых,...
Распределенных системах на классах кусочно-постоянных и хевисайдовских функций 1 iconРезюме доцента кафедры «Вычислительные системы и сети», к т. н. Карповой Ирины Петровны
Э, ведет преподавательскую и научно-исследовательскую деятельность. В 2002 г защитила кандидатскую диссертацию на тему «Исследование...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница