Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения




Скачать 78.81 Kb.
НазваниеСимметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения
Дата13.12.2012
Размер78.81 Kb.
ТипДокументы

  1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

    1. Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения.

Опр. Симметрическими называются многочлены, не изменяющиеся от круговой перестановки переменных,. Так, например, СМ второго порядка от двух переменных х и у не изменяются от одновременной замены x на у, а у – на х.

Далее рассмотрим наиболее типичные задачи, содержащие СМ.

1-4) Решить системы рациональных уравнений высшего порядка с двумя неизвестными:

x3+y3=35 x3+y3=7 x3+y3=8 x3-y3=5

x+y=5 xy(x+y)=-2 x2+y2=4 x2y-xy2=-1

1) 2) 3) 4)

Наиболее рациональным приемом решения подобных систем является замена

σ1=x+y

σ2=xy (1),


неизвестных через элементарные СМ , которые позволяют понизить порядок уравнений и значительно упростить решение. Идея основана на ключевой теореме теории СМ:

Любой СМ от nпеременных x1,x2,…,xn (в частности, степенная сумма Sm=x1m+x2m+…+xnm) может быть представлен как многочлен степени n от элементарных СМ σ123,...,σn, где

σ1= x1+x2+…+xn

σ2= х1х2+ х1х3+…+ х1хп+ х2х3+…+ хп-1хп

σ3= x1x2x3+...+ xn-2xn-1xn

...

σn= x1x2x3... xn


В частности, для n=2 получаем элементарные СМ σ12 из (1)

В 4-ой системе предварительно выполняется замена t = -y .

5) Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней уравнения x2+6x-8=0. Применяется теорема Виета, использующая элементарные СМ (1) от корней квадратного уравнения.

6) Решить иррациональное уравнение + =5.



t=

s=


Эта замена приводит здесь к системе решаемой далее с помощью СМ:

t+s=5

t4+s4=97


7) Решить уравнение sinx+cosx=1. Несмотря на то, что можно привести достаточно много (не менее 12) различных способов решения этого уравнения, есть возможность использования симметрии, сведя это тригонометрическое уравнение с помощью замены a=sinx; b=cosx к системе симметрических алгебраических уравнений: a+b=1

a2+b2=1

1.9

8) Решить уравнения + =

2,9

Существует похожее известное неравенство

2 .

9) а) Чему равно значение выражения + x4, если x + =4?




б) Решить уравнение x2+ +x+ =4.


Симметрия этих выражений 8-9 «подсказывает» замену t=x+ .


2. Симметрические уравнения четвертой степени.

Изучая СМ [1; 4] и исследуя решения уравнений высших степеней, показываю алгоритм решения таких уравнений, как

а) х4 -3 + 14х2 - + 1 = 0;

б)12z4 -16z3 -11z2 -16z +12=0.

Это - так называемые симметрические уравнения четвертой степени; их коэффициенты обладают соответствующей симметрией. Общий вид этих уравнений: ах4+bх3 +сх2+ bх+а=0, a≠0. Разделив обе части уравнения на х2 (это можно сделать, поскольку х=0 не является его корнем), получим равносильное уравнение



=0, заменой t=x+ , сводящееся к квадратному уравнению


a(t2-2)+bt+c=0.


3. Симметрические уравнения третьей и пятой степени.

Исследования решений следующих уравнений выстроены на предложенном ниже алгоритме. Решить уравнения: а) Зх3+2х2++3=0; б)5+3х4-5хз-5х2+3х+2=0.

Это - симметрические уравнения соответственно третьей и пятой степени. Общий вид таких уравнений: ах3 +bх2 + bх +а =0, а≠О и ах5 + bх4 + сх3 + сх2+ bх + а = 0, а≠0. Легко убедиться, что значение х = -1 является корнем каждого из этих уравнений. Например,

ах3+bх2+bх+а=(х+1)(ах2+(b-а)х + а), и уравнение равносильно совокупности

x+1=0

, где второе уравнение является симметрическим

ax2 +(b-a)x+a=0


квадратным.

Аналогично, симметрическое уравнение пятой степени равносильно

x+1=0

совокупности

ax4+(b-a)x3+(a-b+c)x2+(b-a)x+a=0


4. Возвратные алгебраические уравнения.

Решить уравнения:

а) 2x5 + 6x4 - 2x3 + 4х2 - 48х - 64 = 0;

б) 4x6 +5 x5 -Зx4 + 10x3 -9x2 +45x+ 108= О

в) 2x8 - 9x7 + 20 x6 - 33x5 + 46x4 - 66 x3 + 80x2 - 72x +32=0.

Это - так называемые возвратные алгебраические уравнения соответственно пятой, шестой и восьмой степени. Общий вид таких уравнений:

a0x2n+1+a1x2n+...+anxn+1+λanxn3an-1xn-1+…+λ2n+1a0=0,a≠0 (1)

a0x2n+a1x2n-1+...+an-1xn+1+anxn+λan-1xn-1+ λ2an-2xn-2+…+λna0=0 (2)

где λ - некоторое число, отличное от нуля. Замечу, что при λ = 1 уравнения (1) и (2) являются симметричными уравнениями.

Первое из предложенных уравнений является возвратным нечетной степени с λ =-2, а второе уравнение — возвратное четной степени с λ= 3.

Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень х = -λ, так как уравнение можно переписать в виде a0(x2n+1+λ2n+1)+a1x(x2n-1+λ2n-1)+…+anxn(x+λ)=0, и при х=-λ каждое выражение в скобках левой части этого уравнения обращается в ноль. Выделив в левой части уравнения (1) множитель х+λ, получаем, что уравнение (2) равносильно совокупности, состоящей из уравнения х=-λ. и возвратного уравнения четной степени.

Для решения возвратного уравнения четной степени 2n можно разделить обе части уравнения на хn, затем, сгруппировав члены с одинаковыми коэффициентами, понизить




степень уравнения вдвое с помощью замены t = .


Рассмотрим уравнение в). В нем λ = 2, так как уравнение можно переписать в виде

2x8-9x7+20x6-33x5+46x4-33•2xз+20•22x2-9•23x+2•24=0. Разделив обе части уравнения на х4 (x=0 не является корнем) и сгруппировав члены, получим уравнение, равносильное данному: 2(х4 - 16/x4) - 9(x3 + 8/х3) + 20(x2 + 4/x2) - 33(x + 2/x) + 46 = 0. Пусть у=х+λ/х=х+2/х. Тогда х2+ 4/х2 = у2 - 4; х3 + 8/х3 = у3 - 6у; х4 +16/x4 = у4 - 8у2 + 8, и последнее уравнение примет вид 2y4-9y3+4y2+ 21y-18=0. Используя метод отыскания рационального корня, получим корни этого уравнения: y1=1, y2=2, y3=3, y4=-3/2. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности, состоящей из четырех уравнений: х+2/х=1, х+2/х=2, x+2/х=3, х + 2/x=-3/2. Решая эту совокупность, найдем корни исходного уравнения - числа 1 и 2.


5. Что такое «центр тяжести».

Предлагаю рассмотреть следующие уравнения: а) х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24 ;

б) x(x + 1)(х + 2)(х + 3) = 24; в) (х - 1)(х - 3)(х + 5)(х+7) =297;

г) (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=50,

Для их решения возможна прямая группировка скобок с дальнейшей заменой у=х +…, однако уравнения вида (х- а)(х-b)(х-с)(х-13)=А, где а< b <с<d и b - а=d-с, можно также решать, выполняя симметризацию уравнения, для чего использую замену переменных




у= = х - , после чего уравнение


сведется к биквадратному. Значение иногда называют «центром тяжести».

а) замена у=х-1,5 (см. рис.) «Центр тяжести»





б) Так как < < < и - = - то , заметим, то





y= = x- . = х -


1) Решить уравнения а) (6-х)4 +(8-x)4 =16; б) (х+3)4 + (х+5)4 =16.

Уравнение вида (х-а)4 +(х-b)4 = А, где А > 0, можно решить, также используя метод симметризации через «центр тяжести», т.е. делая замену




y=


2) Решить уравнения


а) + = =




б) + 5 =





Уравнения вида = С (*),где A,B,C≠0, a,c≠0





заменой переменной у = сводятся к уравнениям = С.

Поскольку в уравнении а) значение х = 0 не является корнем, разделим обе части




уравнения на х , получим: = ; заметим




y = , = и т.д.




3) Уравнения вида = А, или вида




= , A≠0 решаются аналогично уравнениям вида (*).


6. ЕГЭ. Задания «С».

«Решение каждого уравнения должно оформляться как доказательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют только те числа, которые внесены в ответ». В.В. Вавилов.

1) Найти все значения параметра a, при которых система уравнений

zcos(x-y)+(2+xy)sin(x+y)-z=0,

x2+(y-1)2+z2= a +2x, имеет единственное решение.

(x+y+ a sin2z) •((1- a)ln(1-xy)+1)=0,

Eсли удается обнаружить четность и/или симметрию в условии, то требование единственности решения позволяет записать дополнительные соотношения для неизвестных. Так, в данной системе вид второго уравнения, а именно, наличие в нем х2 и 2х, «подсказывает» выделить полный квадрат выражения (х-1), что приводит к уравнению (x-1)2 + (y-1)2 + z2 = a +1, симметричному относительно х и у . Значит, если решение единственно, то отсюда следует условие х=у, при котором первое уравнение исходной системы




принимает вид sin2х = 0 х = , где k€2.

Далее, из условия существования логарифма получаем, что ху < 1, поэтому < 1. Поскольку k должно принимать целочисленные значения, у этого неравенства есть только одно решение: k=0, а тогда и х = у = 0. Подставляя эти значения х и у во второе уравнение системы, получаем z2 = а - 1. Уравнение симметрично относительно z. Поэтому решение может быть единственным только при z0=0, откуда а= 1. Проверка убеждает в том, что при а = 1 исходная система имеет единственное решение: х = у =z= 0.


Список используемой литературы

1. Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. - М.: Наука, 1967.

2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1971.

3. Березин В.Н. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1985.

4. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. - М.: Наука, 1987.

5. Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-Пресс, 2001.



Похожие:

Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения icon«Симметрические многочлены»
Ершова Т. И., к ф м н., доцент кафедры алгебры и теории чисел Ургпу, математический факультет
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения icon2 Приближение функций многочленами [10 часов]
Аппроксимация мнк в различных базисах: базис «алгебраических» многочленов, ортогональные базисы (многочлены Лежандра, «факториальные»...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconTригонометрические многочлены
Однажды автор этой книжки решил попробовать решать тригонометрические уравнения угадыванием корней(т е сначала угадывать корни, а...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconИ дата консультации*
Выражения. Одночлены. Многочлены Одночлены и многочлены. Формулы сокращенного умножения
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconДифференциальные уравнения
...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconНаучно-исследовательская работа «Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени» Математика
Уравнения третьей степени решаются формулой Кордано. Уравнения четвёртой степени методом Феррари. Кроме того, что в теории алгебры...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconУрока: образовательные: углубить знания учащихся по теме «Рациональные уравнения»
«Рациональные уравнения», ввести понятие биквадратного уравнения, рассмотреть решение рациональных уравнений методом введения новой...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения icon«Метод мажоранта» математика Выполнили: ученицы 10а класса Куркотова Ирина Трепачева Елена
Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconПроектирование, конструкция и производство летательных аппаратов основы аэродинамики
Обтекание тел. Физические свойства жидкостей и газов как сплошной среды. Иерархия уравнений, описывающих движение сплошной среды:...
Симметрические многочлены (СМ) и симметрические уравнения iconУрок-зачет по алгебре в 10 классе по темам: «Степень с рациональным показателем», «Иррациональные уравнения», «Показательные уравнения и неравенства»
«Степень с рациональным показателем», «Иррациональные уравнения», «Показательные уравнения и неравенства»
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница