Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией




Скачать 87.45 Kb.
НазваниеМатематическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией
Дата11.12.2012
Размер87.45 Kb.
ТипТематическое планирование
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ АЛГОРИТМА АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ


Н.Н. КУЦЫЙ, Л.Н. СЕРДЮК

(ИРКУТСК, ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)


В настоящей статье предлагается метод определения достаточного количества экспериментов при исследовании области работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации в определенном диапазоне изменения параметров оператора объекта регулирования, и приводятся примеры его использования при различных вариантах поверхности отклика.


Известна задача исследования и оценивания работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией в определенном диапазоне параметров объекта регулирования [1, 2].

Эта задача может быть решена только с помощью компьютерных экспериментов, так как объектом исследования является автоматическая система регулирования импульсного действия, аналитическое исследование которой затруднено вследствие большого запаздывания, а также ее существенной нелинейности.

Обращение к экспериментальным исследованиям вообще, и в частности к компьютерным, требует их планирования.

В данной работе рассматривается разработанная на основе метода крутого восхождения многофакторная методика определения количества экспериментов в контексте исследования области работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации, сформированного на базе теории чувствительности [3-6].

Автоматическая система регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Структурная схема исследуемой АСР представлена на рис.1,


Рис. 1. Структурная схема АСР с ШИМ

где e(t) – ошибка системы регулирования; l(t) – задающее воздействие; u(t)– регулирующее воздействие; x(t) – выходная координата АСР; Gie – оператор импульсного элемента; Gp(p) – оператор объекта регулирования; p=d/dt– оператор дифференцирования.

Процессы, протекающие в автоматической системе регулирования описываются следующим образом:


(1)


где q = (q1,…,qm) – вектор настраиваемых параметров;

Используем критерий оптимальности, который наиболее широко распространен в практике автоматического регулирования:

(2)


Имеем параметры q1,…,qm, значения которых необходимо определить, исходя из минимума заданного критерия оптимальности I.

Оператор объекта регулирования выглядит следующим образом




(3)


где kим – коэффициент передачи исполнительного механизма; kоб - коэффициент объекта регулирования; Тоб1, Тоб2 - постоянные времени; об – запаздывание.

Для нахождения параметров q1,…,qm используется алгоритм АПО.

Алгоритм автоматической параметрической оптимизации. Алгоритм АПО, основанный на градиентных процедурах, записывается следующим образом




(4)


где qj[l] – значение настраиваемого параметра на l-ом шаге работы алгоритма оптимизации;

h[l] – величина l-го шага, которая может изменяться по тому или иному алгоритму.

Ставится задача исследовать и оценить работоспособность алгоритма АПО при следующих параметрах объекта регулирования:




(5)


Необходимо назначить шаг . Количество шагов минимизировать. Другими словами, определить минимальное количество точек проведения эксперимента, которое позволило бы сделать достоверный вывод, что в этой области алгоритм АПО работоспособен. Выбор экспериментальных точек следует начинать с определения экстремальных значений изменения рассматриваемых параметров объекта регулирования, так как это позволит получить область исследуемых значений, охватывающую всю совокупность данных.

Выбор плана эксперимента. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем.

Если число факторов равно k, то при их варьировании на двух уровнях (-1; +1) число сочетаний уровней факторов или, что то же самое, число опытов N эксперимента определяется выражением N=2k.

Планирование ПФЭ с любым числом факторов k сводится к записи в матрицу всех неповторяющихся сочетаний уровней этих факторов.

Любой эксперимент сопровождается погрешностями (ошибками воспроизводимости). Для оценки воспроизводимости необходимо осуществить параллельные опыты, то есть каждый i-й опыт матрицы планирования выполняется в конечном итоге несколько раз. Число серий n характеризует параллельность опытов матрицы планирования. Каждая серия должна включать N неповторяющихся опытов матрицы планирования.

Необходимо отметить, что оценка воспроизводимости опытов по сути сводится к расчету так называемой дисперсии воспроизводимости.

С целью уменьшения детерминированных факторов при реализации плана ПФЭ необходимо провести так называемую рандомизацию, то есть опыты каждой серии выполняются не по порядку, как они записаны в матрице планирования, а в случайной последовательности.

Выполнение ПФЭ состоит в последовательном проведении опытов каждой серии. В пределах серии опыты выполняются в очередности, полученной в результате рандомизации.

Метод крутого восхождения. В основе метода лежит идея, согласно которой к экстремуму надо двигаться по направлению, вдоль которого отклик меняется сильнее всего, т.е. по направлению градиента функции отклика

, (6)

где - единичные векторы вдоль координатных осей x1, x2, …, xk.

Движение к экстремуму начинается из некоторой начальной точки, выбор которой производится на основании некоторых дополнительных соображений. В окрестности начальной точки требуется найти градиент функции отклика. Для этого используется линейная математическая модель, которая может быть получена средствами полного факторного эксперимента

(7)

С учетом соотношения (6) имеем

(8)

Вдоль направления, задаваемого градиентом, следует двигаться в сторону экстремума. Движение осуществляется заданием координат последовательности точек, в которых надо ставить эксперименты.

Некоторый фактор xl, для которого значение коэффициента bl является максимальным, принимается за базовый. Для него устанавливается шаг движения в натуральных значениях. Шаги для других факторов вычисляются из соотношения

(9)

Таким образом, опыт ставится до тех пор, пока не достигается точка, в которой отклик является наибольшим для данного направления. Эта точка не обязательно является экстремумом функции отклика. Поэтому, когда на каком-то шаге отклик начнет уменьшаться, следует снова построить линейную модель, найти новое направление движения и двигаться по нему. Процесс повторяется до тех пор, пока не достигается точка, в которой градиент можно считать близким к нулю. Она и будет искомой точкой экстремума функции отклика.


Применим многофакторный подход к планированию экспериментов при исследовании работоспособности алгоритма АПО систем с ШИМ.

Необходимо найти значения k об (Х1) и Tоб (Х2), при которых …

Исследования проводятся в достаточно широком диапазоне изменения параметров оператора объекта регулирования, что обуславливает значимость результатов исследования:

0,5 ≤ k об ≤ 2; 20 ≤ Tоб ≤ 100.

В настоящей работе предлагается методика разбиения области варьирования параметров АСР на сетку, в узлах которой и проводятся эксперименты, доказывающие работоспособность алгоритма АПО.

Для выбора шага сетки (плана эксперимента) разработан следующий алгоритм.

Так как единицы измерения у параметров разные, то преобразуем их в относительные единицы.

Выбираем центральную точку рассматриваемой области и в ней в ходе работы алгоритма АПО определяем значения критерия оптимальности I*(q*) и вектора настраиваемых параметров q* . Затем, от центральной точки в положительном и отрицательном направлении изменения каждого из параметров определяем точки, в которых значение критерия I(q*) превышает значение I*(q*) на величину допустимой погрешности, которая изначально задается исследователем, например 0,5%. Для нашего случая получается четыре таких точки. Из них выбираем ту, шаг к которой от центральной точки является минимальным. Именно с этим шагом и разбивается вся область.

Реализация предлагаемого алгоритма представлена на рис.2 и 3.


Рис.2.




Рис.3.

Доказательством работоспособности алгоритма во всей области будет его работоспособность в каждой точке сетки области. То есть, в каждой точке плана выполняется условие

(6)

где - заранее принятое малое значение.

Так как шаг выбран достаточно малым, то справедлива адекватность работы алгоритма АПО и в межузловом пространстве. Для подтверждения работы алгоритма в узловых точках плана эксперимента достаточно убедиться в сходимости алгоритма АПО для каждой точки, запущенного при различных начальных векторах настраиваемых параметров q.



Рис.4. Реализация предлагаемой методики разбиения области варьирования параметров АСР на сетку.

Поскольку имеются два фактора с двумя уровнями, то это есть ПФЭ 22, поэтому реализуем факторный план из 4 опытов с дополнительным опытом в центре эксперимента для проверки адекватности. Центром плана выбираем значения k об =1,25 и Tоб =60, нижними уровнями считаются k об =0,5 и Tоб=20, а верхними k об =2 и Tоб =100. Результатом опыта yn является получение значения критерия оптимальности I. Матрица планирования имеет вид, представленный в табл.1.

Таблица 1

Матрица планирования ПФЭ 22


№ опыта, n



Независимые факторы, xi


Результат опыта (отклика), yn

x1

x2

1

-1

-1

y1

2

+1

-1

y2

3

-1

+1

y3

4

+1

+1

y4

5

0

0

y5


Выполнение эксперимента по этому плану дает значения отклика (в %).

Если представить математическую модель в виде неполного квадратичного уравнения

, (7)

то при помощи формул









легко найти коэффициенты bi .

Теперь проведем процедуру крутого восхождения.


ЛИТЕРАТУРА


  1. Куцый, Н.Н. Автоматическая параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. – М., 1997. – 44 с.

  2. Высотская, О.В. Разработка и исследование алгоритма автоматической параметрической оптимизации для систем с широтно-импульсной модуляцией. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. – Иркутск, 2003. 123 с.

  3. Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий/Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. – М.: Наука, 1976. – 279 с.

  4. Папуловский, В.Ф. Планирование эксперимента в промышленности: Учеб. пособие. – М.: Моск. ин-т радиотехники, электроники и автоматики, 1992. – 68 с.

  5. Костюк, В.И. Автоматическая параметрическая оптимизация систем регулирования/В.И. Костюк, Л.А. Широков – М.: Энергоиздат, 1981. – 96 с.

  6. Розенвассер, Е.Н. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении/Е.Н. Розенвассер, Р.М. Юсупов. – Л.: Энергия, 1971. – 338 с.







Похожие:

Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconАвтоматическая параметрическая оптимизация систем с широтно-импульсной модуляцией при эквивалентировании запаздывания инерционными звеньями

Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconПрименение обобщенного дифференцирования при формировании анализаторов чувствительности для систем с широтно-импульсной модуляцией
Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск ул. Лермонтова, 83, доктор технических наук, профессор кафедры...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconАнализаторы чувствительности автоматических систем с амплитудно-импульсной модуляцией
В настоящей работе рассматривается вычисление функций чувствительности для автоматических систем с амплитудно-импульсной модуляцией...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconУчебно-методический комплекс дисциплина «Планирование эксперимента и обработка материала»
Магистранты получают основы современных методологических подходов к постановке и обработке результатов исследований и математических...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconК оптимизации кинематических параметров рычажных четырёхзвенных механизмов
Ап технологических и механических систем, обеспечивая поэтапный процесс их параметрической оптимизации [1], достигая экстремальных...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconОб одной задаче оптимзации системы с переменным запаздыванием в управлении
При исследовании сложных технических систем, в частности, при оптимизации режима работы сложной энергосистемы, содержащей в своем...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconСеменычев В. К., Куркин Е. И., Семенычев Е. В. Идентификация параметров импульсной модели нефти и газа с помощью генетического алгоритма. // Сборник докладов ХV
Семенычев В. К., Куркин Е. И., Семенычев Е. В. Идентификация параметров импульсной модели нефти и газа с помощью генетического алгоритма....
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconРабочая программа дисциплины «Моделирование процессов переработки Эластомеров»
Целью изучения дисциплины является освоение студентами современной методологии и технологии системного моделирования, а также комплексное...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconРабочая учебная программа Магистерской подготовки по дисциплине Теория и практика физического эксперимента направление 010500 «Прикладная математика и информатика»
Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т е нахождения такой комбинации влияющих...
Математическое планирование эксперимента при исследовании работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией iconПрограмма учебной дисциплины Наименование специальности (направления подготовки) 010503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
«Математическое обеспечение и администрирование информа- ционных систем» и изучается в 5 семестре при очной форме
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница