5. Решение уравнений графическим способом




Скачать 154.16 Kb.
Название5. Решение уравнений графическим способом
Дата03.12.2012
Размер154.16 Kb.
ТипРешение
Содержание

Стр.

Введение. 2

1Модуль в математике. 3

2.Графики с модулем. 4

2.1. y=f (|x|)………………………………………. 4

2.2. y=|f (x)|………………………………………. 5

2.3. y=|f (|x|)|……………………………………... 6-7

2.4. |y|=|f (x)|…………………………………….... 8

3.Примеры построения.

I…………………………………………... 9

II………………………………………….. 10

III…………………………………………. 11

IV…………………………………………. 12

V………………………………………….. 13

3.6.Вывод………………………………… 14

4.Для чего нужно изучать

построение графиков функций, содержащих модуль? 14

5. Решение уравнений графическим способом.

I…………………………………………... 15

II………………………………………….. 16

III…………………………………………. 17

Заключение. 18

Список литературы. 19


Введение.

С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций, содержащих модуль, не входит в школьную программу. Именно по этому я решила подробно ознакомиться с модулем в графиках функций.

Моя цель: научиться строить графики функций, содержащих модуль, построить множество подобных графиков и понять алгоритм их построения. Узнать, для чего нужно уметь строить графики с модулем.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре модуль-это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

Модуль в технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и. т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике) - отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.


1. Модуль в математике:


Модулем рационального числа α называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до точки координатной прямой, соответствующей этому числу: А (α).

α, если α≥0;

|α|= -α, если α<0.


|α|≥0 – модуль числа не отрицателен.


Модуль вектора - это длина вектора и обозначается символом |AB|.


2. Графики с модулем.

Модуль встречается нам в уравнениях и выражениях, в неравенствах и в функциях. Особое внимание я уделяю графикам функций, содержащих модуль потому, что очень интересно строить график и видеть, как он изменяется.

Существует разное расположение модуля в функциях. Рассмотрим некоторые из них:

2.1. y=f (|x|)

І способ. Собственный алгоритм построения:

y=f (|x|) – четная.

По определению модуля получим:

f (x), если x≥0;

y=f (|x|)=

f (-x), если x<0.


a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором x<0.

c) построить график y=f (-x).

d) «стереть» график y=f (-x) на промежутке, в котором x≥0.

Полученный график и есть y=f (|x|).

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.


2.2. y=|f (x)|

І способ. Собственный алгоритм построения:

По определению модуля получим:


f (x), если f (x)≥0;

y=|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.


a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором f (x)<0.

c) построить график y=-f (x).

d) «стереть» график y=-f (x) на промежутке, в котором f (x)≥0.

Полученный график и есть y=|f (x)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.


ІІ способ. По определению:

f (x), если f (x)≥0;

y=|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.


a) построить график y=f (x).

Построив множество таких графиков, я пришла к выводу, что модуль отражает симметрично относительно оси ОХ, ту часть графика функции, которая лежит ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

b) отобразим часть графика y=f (x), лежащую ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

c) «стереть» часть графика y=f (x), лежащую ниже оси ОХ.

Полученный график и есть y=|f (x)|.

2. 3. y=|f (|x|)|


І способ. Собственный алгоритм построения:

По определению модуля получим:

f (x), если f (x)≥0;


|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0;

y=|f (|x|)|=

f (-x), если f (-x)≥0;

|f (-x)|=


-f (-x), если f (-x)<0.


a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором f (x)<0.

c) построить график y=-f (x).

d) «стереть» график y=-f (x) на промежутке, в котором f (x)≥0.

e) построить график y=f (-x).

f) «стереть» график y=f (-x) на промежутке, в котором f (-x)<0.

g) построить график y=-f (-x).

h) «стереть» график y=-f (-x) на промежутке, в котором f (-x)≥0.

Полученный график и есть y=|f (|x|)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости


ІІ способ. По определению:


f (x), если x≥0;

y=f (|x|)=

f (-x), если x<0.

Для построения графика y=|f (|x|)| нужно:

a) построить график y=f (x).

b) «стереть» график y=f (x) на промежутке, в котором x<0.

с) Участки полученного графика, лежащие ниже оси ОХ, отразить в верхнюю полуплоскость.


Построив множество таких графиков, я пришла к выводу, что модуль отразит построенную часть графика симметрично относительно оси ОУ.

Полученный график и есть y=|f (|x|)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости.


2.4. |y|=|f (x)|

І способ. Собственный алгоритм построения:

Заметим, что функция |y|=|f (x)| - нечетная, имеем:


f (x), если f (x)≥0;

|f (x)|=

-f (x), если f (x)<0.

y, если y≥0;

|y|=

-y, если y<0.

Получили: y= f (x) равную ей –y=-f (x) и

-y= f (x) равную ей y=-f (x).

Тогда:

  1. построить график y= f (x)

  2. построить график y= -f (x)

Полученный график и есть |y|=|f (x)|.

Указание: графики строить на одной координатной плоскости


ІІ способ. По определению:

a) построить график y=|f (x)|.

b) отразить полученный график относительно оси ОХ в нижнюю полуплоскость.


3. Примеры построения:


І. y=x2­2|x|­3 способ «по алгоритму»


х, если х≥0;

|х|= -х, если х<0.


1.если х≥0, то y=x2-2x-3 – квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)

2.если х<0, то y=x2+2x-3 - квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (-1;-4).

(зеленый график)


ІІ. y=|x2­2x­3| способ «по алгоритму»


x2­2x­3 , если x2­2x­3 ≥0;

1. | x2­2x­3|=

-x2+2x+3, если x2­2x­3 <0.


X2­2x­3 ≥0, пусть h≥0, тогда найдем нули h:

x2­2x­3=0

по теореме Виета:

x1x2=-3 x1=-1;

x1+x2=2 x2=3.


а)x€(-∞;-1]٧[3;+∞), то y=x2­2x­3– квадратичная функция, график

парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)


b) x€(-1;3), то y=-x2+2x+3 - квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (1;4).

(зеленый график)


ІІІ. |y|=|xІ­2|x|­3| Способ «по определению»


1.построить график y=xІ­2|x|­3 (пример І)

(синий график)

2. построить график y=|xІ­2|x|­3|, т.е. модуль отразит симметрично относительно оси ОХ, ту часть графика y=xІ­2|x|­3, которая лежит ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

(синий график)

4.построить график |y|=|xІ­2|x|­3|,т.е. модуль отразит график y=|xІ­2|x|­3| в нижнюю полуплоскость.

(зеленый график)


IV. |y|=xІ­2x­3 способ «по алгоритму»

y, если y≥0;

|y|= -y, если y<0.

1.построить график y=x2­2x­3 – квадратичная функция,

график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (1;-4).

(синий график)


2.оставить график y=xІ­2x­3 только на тех промежутках, где y≥0.

3.построить график -y=xІ­2x­3,для этого преобразуем его, умножив две части на-1. Получим:

y=-x2+2x+3 - квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (1;4).

(зеленый график)


4. оставить график y=-xІ+2x+3 только на тех промежутках, где y<0.


V. y=|xІ­x|­2 способ «по алгоритму»


x2­x , если x2­x≥0;

1. | x2­x|=

-x2+x, если x2­x<0.


x2­x≥0, пусть h≥0, тогда найдем нули h:

x2­x=0

x(x-1)=0

x=0 или x=1

2.Построить график y=xІ­x­2 на промежутке x€(-∞;0]٧[1;+∞),

y=x2­x­2– квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вверх,D(y)=R,

вершина (0,5;-2,25).

(синий график)

3. Построить график y=-xІ+x+2 на промежутке x€(0;1)

y=-x2+x-2– квадратичная функция, график парабола,

ветви направлены вниз,D(y)=R,

вершина (0,5;-1,25).

(зеленый график)


3.6.Вывод:

Каждый выбирает свой способ построения графиков функций, содержащих модуль. По моему мнению удобней строить такие графики способом «по определению». Этим способом графики строятся очень быстро, но для этого необходимы навыки в работе.

Для некоторых графиков удобен способ «по алгоритму», при таком построении нет опасности запутаться.


4.Для чего нужно изучать

построение графиков функций, содержащих модуль?


Решать уравнения можно не только аналитическим способом, но и графическим способом.

Графический способ: Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль - это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.


5.решение уравнений графическим способом.

І. Решим графически уравнение |x­2|=3

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций y=|x -2| и у=3.

Для построения графика функции у =|x - 2|, построим график функции у =| х - 2| - это прямая, пересекающая ось ОХ в точке (2; О), а ось ОУ в точке (о; - 2), а затем часть прямой, лежащую ниже оси ОХ зеркально отразить в оси ОХ.

Графиком функции у = 3 является прямая, параллельная оси ОХ и проходящая через точку (о; 3) на оси ОУ.

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции у=3 пересеклась с графиком функции y=|x - 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек: х= - l, х=5.

Ответ: Х 1= -1, Х2 = 5.


ІІ. Решить графически уравнение |1-x|-|2x+3|+x+4=0

1.Представим уравнение в виде |1-x|-|2x+3|=-x-4

2.Построим график y=|1-x|-|2x+3|

Узловые точки: x=1,x=-1,5.

(1-x)

(2x+3)

а) При x<-1,5, (1-x)>0 и (2x+3)<0,т.е. функция примет вид

y=1- x+2x+3,

y=x+4 – графиком является прямая, проходящая через две точки

(0;4), (-4;0).

б) При -1,5≤x<1, (1-x)>0 и (2x+3)>0, т.е. функция примет вид

y=1-x-2x-3, y=-3x-2 – графиком является прямая, проходящая

через две точки (0;-2), (-1;1).

в) При x≥1, (1-x)≤0 и (2x+3)>0, т.е. функция примет вид

y=-1+x-2x-3, y=-x-4 – графиком является прямая, проходящая

через две точки (0;-4), (-4;0).

График функции y=-x-4 совпадает с графиком y=|1-x|-|2x+3|,

при x≥1, поэтому решением являются все x≥1 и x=-4.


Ответ: x≥1 и x=-4.

Нестандартное уравнение:

ІІІ. Решим графически уравнение |4-x|+|(x-1)(x-3)|=1.

  1. Представим уравнение в виде |(x-1)(x-3)|=1-|4-x|.

2. Построим график y=|(x-1)(x-3| и y=1-|x-4|.

а) В графике y=|(x-1)(x-3| раскроем внутренние скобки получим:

y=|x2-4x+3|- квадратичная функция.

Построим этот график «по определению».

Пересечение графика с осью ОХ. При x=0 y=3,

т.е. график пересекается с осью ОУ в точке (0;3). И при x=4 y=3

мы получили первый график.

б) Построим график y=1-|x-4| «по алгоритму»,

Построив, увидим, что данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При x=4, y=1 и как видно из графика обеих функций пересекаются в одной точке (3;0).


Ответ: (3;0).


Заключение


Разобравшись с построением графиков функций, содержащих модуль, самостоятельно, я убедилась:

  1. как интересно строить такие графики;

  2. приобрела навык в этом деле;

  3. увидела, какие удивительные и красивые бывают графики.

4.я научилась применять построение графиков в решении

сложных уравнений.

В дальнейшем, когда круг знаний функций расширится, я рассмотрю, как изменяет модуль графики. Надеюсь, это будет ещё интересней и увлекательней.

Список литературы


1.К.Вельскер, Л.Лепманн. Учебник математики Х класса.

2.М.И.Башмаков. уравнения и неравенства.

3.Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин и др. Большой справочник Математики для школьников и поступающих в вузы.





Похожие:

5. Решение уравнений графическим способом icon9 Решение нелинейных уравнений средствами Mathcad 22
Операционная система семейства Microsoft Windows (Windows 95, 98, nt, 2000, xp) является многозадачной операционной системой с развитым...
5. Решение уравнений графическим способом iconТема №121: Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств Примерное содержание
Решение уравнений вида tg t = m. Арктангенс. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. Решение тригонометрических...
5. Решение уравнений графическим способом icon«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных
5. Решение уравнений графическим способом iconТема: Решение тригонометрических уравнений (Т. У.)
Методические приёмы: сообщения учащихся, представление нового материала путём поиска решений уравнений, самостоятельная работа по...
5. Решение уравнений графическим способом iconРешение этой системы уравнений подтверждает математическое предвидение A. Beal и связь этого предвидения с элементарным
Предлагаю Вашему вниманию решение этой проблемы как решение системы уравнений A. Beal и P. Fermat
5. Решение уравнений графическим способом iconЭлективный курс «Решение уравнений и неравенств»
Целью изучения курса «Решение уравнений и неравенств» по алгебре и началам анализа в XI классе является: повторение, обобщение и...
5. Решение уравнений графическим способом iconПрезентация «Геометрическое нивелирование», 25 слайдов. Слайд-презентация «Определение площадей графическим способом»
Слайд-презентация «Определение площадей механическим и аналитическим способом», 21 слайд
5. Решение уравнений графическим способом iconМетодика изучения уравнений в курсе алгебры 7-9 классов
Примерное содержание: Определение уравнений. Классификация уравнений. Решение рациональных уравнений. Уравнения с неизвестным под...
5. Решение уравнений графическим способом iconПрограмма педагога
Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр. 5
5. Решение уравнений графическим способом iconУрок по алгебре в 10 классе на тему «Решение показательных уравнений, неравенств и систем уравнений»
Цель : рассмотреть способы решения показательных уравнений, неравенств и их систем
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница