Преобразование графиков функций




Скачать 186.79 Kb.
НазваниеПреобразование графиков функций
Дата03.12.2012
Размер186.79 Kb.
ТипМетодическое пособие
КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ БИЙСКОГО РАЙОНА АЛТАЙСКОГО КРАЯ


МОУ «ПЕРВОМАЙСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА №2»





Ефименко Г.Д.


Преобразование графиков функций


Методическое пособие


с. Первомайское 2006

СОДЕРЖАНИЕ:



  1. Графики элементарных функций школьного курса

  2. Основные приёмы преобразования графиков

  3. Алгебраические операции над графиками функций

  4. Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)

  5. Построение графика линейной функции y = kx + b с помощью элементарных преобразований графика функции у = х

  6. Построение графика квадратичной функции y = ax2 + bx + c с помощью элементарных преобразований графика функции у =х2

  7. Проверь себя

1 Графики элементарных функций школьного курса


1.1 Линейная функция


1.1.1 y = kx + b, где k, b – действительные числа

Функция y = kx + b. Вид графика – прямая.




1.1.2 Частные случаи линейной функции



  1. Квадратичная функция

  2. Степенная функция

  3. Дробно-линейная функция

  4. Функция

  5. Тригонометрические функции

  6. Обратные тригонометрические функции

  7. Показательная функция

  8. Логарифмическая функция


Линейная функция


1.1.2 Частные случаи линейной функции

а) Функция y = kx (b = 0). Прямая пропорциональность. Вид графика – прямая, проходящая через начало координат и точку с координатами (1; k).




б) Функция y = b (k = 0). Постоянная функция. Вид графика – прямая параллельная оси OX, проходящая через точку координатами (0; b).





1.2 Квадратичная функция

y = ax2 + bx + c, где а ≠ 0. Вид графика – парабола. Координаты вершины параболы: , . Ось симметрии .

а) D = b2 – 4ac > 0. Два корня – х1 и х2. График пересекает ось ОХ в двух точках.




б) D = b2 – 4ac < 0. Нет корней. График лежит по одну сторону оси ОХ.





в) D = b2 – 4ac = 0. х1 = х2. График касается оси ОХ.




1.3 Степенная функция


1.3.1 Степенная функция с натуральным показателем степени

y = xn, где nN.







1.3.2 Степенная функция с целым отрицательным показателем степени

y = x-n, где nN.







1.4 Дробно-линейная функция

, .

Вид графика – гипербола , где , .




1.5 Функция , где nN.







1.6 Тригонометрические функции

1.6.1 Функция y = sinx. Вид графика – синусоида.




1.6.2 Функция y = cosx. Вид графика – синусоида.





1.6.3 Функция y = tgx.Вид графика тангенсоида.




1.6.4 Функция y = сtgx.Вид графика тангенсоида.





1.7 Обратные тригонометрические функции


1.7.1 Функция y = arcsinx.




1.7.2 Функция y = arccosx.




1.7.3 Функция y = arctgx.




1.7.4 Функция y = arcctgx.





1.8 Показательная функция

y = ax, где а > 0, a ≠ 1.





1.9 Логарифмическая функция

y = logax, где а > 0, a ≠ 1.




2 Основные приемы преобразования графиков

2.1 Преобразование симметрии относительно оси абсцисс

f(x) → -f(x). График функции y = -f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y = f(x) относительно оси абсцисс.





Замечание: Точки пересечения графика с осью абсцисс остаются неизменными.

2.2 Преобразование симметрии относительно оси ординат

f(x) → f(-x). График функции y = f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y = f(x) относительно оси ординат.




Замечание: Точка пересечения графика с осью ординат остаётся неизменной.


2.3 Параллельный перенос вдоль оси абсцисс

f(x) → f(x + а). График функции у = f(x + а) получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на вектор(-а; 0).


y = f(x)



2.4 Параллельный перенос вдоль оси ординат

f(x) → f(x) + b. График функции у = f(x) + b получается параллельным переносом графика функции у = f(x) на вектор(0; b).




2.5 Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс

f(x) → f(wx)

0 < w < 1. График функции у = f(wx) получается растяжением графика функции у = f(x) от точки (0;0) вдоль оси абсцисс в раз.




Замечание:

1. Следует увеличить абсциссы графика функции у = f(x) в раз.

2. Точки пересечения графика с осью ординат остаются неизменными.

w > 1. График функции у = f(wx) получается сжатием графика функции у = f(x) к точке (0;0) вдоль оси абсцисс.





Замечание:

1. Следует уменьшить абсциссы графика функции у = f(x) в w раз.

2. Точки пересечения графика с осью ординат остаются неизменными.


2.6 Растяжение и сжатие вдоль оси ординат

f(x) → kf(x), где k > 0.

k > 1. График функции у = kf(x) получается растяжением графика у =f(x) от точки (0;0) вдоль оси ординат в k раз.




Замечание:

  1. Следует ординаты графика функции у = f(x) увеличить в k раз.

  2. Точки пересечения графика с осью абсцисс остаются неизменными.

0 < k < 1. График функции у = kf(x) получается сжатием графика функции у = f(x) к точке (0;0) вдоль оси ординат в раз.




Замечания:

1. Следует ординаты графика функции у = f(x) уменьшить в раз.

2. Точки пересечения графика с осью абсцисс остаются неизменными.


2.7 Построение графика функции у =│f(x)│

f(x) → │f(x)│. Части графика функции у = f(x), лежащие выше оси абсцисс и на оси абсцисс, остаются без изменений, а лежащие ниже оси абсцисс – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх)




Замечание:

Функция у =│f(x)│ неотрицательна её (график расположен в верхней полуплоскости).


2.8 Построение графика функции у =f(│x│)

f(x) → f(│x│). Часть графика функции у = f(x), лежащие в правой полуплоскости и на оси ординат без изменения, а вместо части в левой полуплоскости строим симметричную правой относительно оси ординат.




Замечание:

Функция у = f(│x│) чётная (её график симметричен относительно оси ординат).


2.9 Построение графика функции у = │f (│x│)│.

f(x) →│f(│x│)│. Часть графика функции у = f(x), которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс, а затем отобразить симметрично относительно оси ординат.





3 Алгебраические операции над графиками функций


3.1 График суммы (разности) функций y = f(x) ± g(x)

График следует строить по точкам, складывая или вычитая ординаты графиков функций f(x) и g(x), соответствующие одному и тому же значению аргумента.


3.2 График произведения функций y = f(x) × g(x)

График следует строить по точкам, перемножая значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.

3.3 График частного двух функций . Далее по схеме умножения.


4 Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)


4.1 y = │x2 – 6│x│+ 8│

f(x) → f(│x│) →│f(│x│)│

f(x) = x2 – 6x + 8 = (x – 3)2 -1




f(│x│) = (│x│ – 3)2 -1




│f(│x│)│=│ (│x│-3)2 -1│





4.2 y = │3sin2x│-1

f( x) → f(2x) → 3f(2x) → │3f (2x)│→ │3f(2x)│-1

f(x) = sinx





f(2x) = sin2x




3f(2x) = 3sin2x




│3f(2x)│= │3sin2x│





│3f (2x)│-1 =│3sin2x│-1




4.3 y = Asin(x + )

y = Asin(x + ) = Asin((x +))

Этапы построения графика

1. Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку (-;0).

2. В новой системе строим график функции у = sinx.

3. Осуществив сжатие построенного графика к оси с коэффициентом , получим

.

4. Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом А, получим требуемый график.

Пример: Построить график функции y = 2sin()

y = 2sin() = 2sin())














5 Построение графика линейной функции y = kx + b с помощью элементарных преобразований графика функции у = х

f(x) → kf (x) → kf (x) + b








6 Построение графика функции у = а(х – m)2 + n

Этапы построения графика функции у = а(х – m)2 + n

1 Растяжение графика y =x2 вдоль оси ОУ в │ а │ раз (при │ а │< 1 – это сжатие в раз)

Если а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси ОХ (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции y = ax2.





2 Параллельный перенос графика функции y = ax2 вдоль оси ОХ на (вправо при m > 0 и влево при m < 0)

Результат: график функции у = а(х – m)2




3 Параллельный перенос графика функции у = а(х – m)2 вдоль оси ОУ на (вверх при n > 0 и вниз при n < 0)

Результат: график функции у = а(х – m)2 + n





7. Проверь себя

7.1




7.2





7.3




7.4




7.5



y = 2x


1


5

3


4


2

Ответы:


1

  1. x2 → – x2

  2. x2 → (x – 6)2 – 4

  3. x2 → x2 + 3

  4. x2 → (x + 5)2


2

1.

2.

3.

4.

5.

6.


3

  1. sinx → 0,5sinx

  2. sinx → 0,5sin0,5x – 3

  3. sinx → –3sin4x

  4. sinx → sinx + 4

  5. sinx → –2sinx


4

  1. cosx → cos(+ x)

  2. cosx → cos(x – )

  3. cosx → │2cos(x –)│


5

  1. 2x → 2-x

  2. 2x → -2x

  3. 2x → 2x + 4

  4. 2x → 2x – 3

  5. 2x → 2x – 7 + 1



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. С.И. Демидова, Л.О. Денищева "Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике"- М: Просвещение,1985г.-192с.

2. Л.И Звавич, А.Р. Рязановский «Алгебра в таблицах» - М: Дрофа ,1999 г. -96с.

3. Н. Н. Евдокимова « Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах» Санкт- Петербург, Издательство «Литера»,2003г.-93с.

4. В. Г. Брагин, А. И. Грабовский «Все предметы школьной программы в схемах и таблицах (алгебра, геометрия) – М: Олимп, 1998 г.- 237с.

5. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. для общеобразовательных школ/ А. Г Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Н Мишустина: Под ред. А.Г. Мордковича -6-е изд.-М.: Мнемозина, 2005г.-315с.

6. Алгебра; Учебник для 9 класса для общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович - 7-е изд.-М.: Мнемозина, 2005г.-235с.

7.А. Г Мордкович, А. М.Суходский « Справочник школьника по математике» 5- 11 классы – М.: ОНИКС·АЛЬЯНС – В,1999г.- 288с.

8. Д. И Аверьянов, П. И Алтынов, И. И. Баврин и др. « Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы» - М.: Дрофа, 1999 г. – 863с.

9. Программа «График» из Интернета.

Похожие:

Преобразование графиков функций iconТема №113: Преобразования графиков функций в школьном курсе математики Примерное содержание
Преобразование графиков с деформациями: построение графиков y = af (X), y = f (ax). Построение графиков функций с модулями: y =...
Преобразование графиков функций iconФункции и графики
Обобщить знания учащихся 9 классов по теме «Преобразование графиков функций». Учащиеся должны научиться определять свойства функции...
Преобразование графиков функций iconПлан-конспект урока взаимное расположение графиков линейных функций
...
Преобразование графиков функций iconТики моу «сош №14» г. Чебоксары Пузариной В. С. по теме «Преобразование графиков функций»
Упражнения Построение графика функции y= -f(X) Построение графика функции y=f(-X)
Преобразование графиков функций iconПрограмма курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля»
Программа курса на выбор «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» адресована учащимся 9 класса, имеющим интерес к изучению...
Преобразование графиков функций iconКонспект урока по теме «Построение и преобразование графиков квадратичной функции вида g ( X ) = a ( X m ) 2 + n»
Конспект урока по теме «Построение и преобразование графиков квадратичной функции вида g(X) = a(X – m)2 + n»
Преобразование графиков функций iconТемы вашего учебного проекта
В ходе выполнения данного проекта учащиеся систематизируют и обобщают знания по тригонометрическим функциям, рассматривают вопросы...
Преобразование графиков функций icon5. Решение уравнений графическим способом
С понятием модуль мы познакомились в пятом классе и на протяжении долгих лет продолжаем встречаться с ним. Построение графиков функций,...
Преобразование графиков функций iconЛинейная функция и ее график
Постройте графики функций в программе «Graph16». Что общего у графиков каждой группы
Преобразование графиков функций iconУрока: систематизировать знания учащихся по теме
Работа с классом по электронному учебнику: «Электронное преобразование графических тригонометрических функций»
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница