Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»




Скачать 268.01 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
страница4/4
Дата16.11.2012
Размер268.01 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
1   2   3   4

6Формы контроля знаний студентов





Тип контроля

Форма контроля

Год

Параметры

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

1

1

Письменная работа 100 минут

Домашнее задание

5

5

4 задачи для аналитического и компьютерного решения. Срок решения 2 недели.

Итоговый

Экзамен




1

Устный экзамен 150 мин.



6.1Критерии оценки знаний, навыков


При текущем контроле студент должен продемонстрировать понимание пройденного материала, владение методами определения решения или качественного исследования соответствующего дифференциального уравнения. В домашнем задании студент также должен продемонстрировать владение численными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями (задача Коши, краевая задача и т. п.).

Это же должен продемонстрировать студент и на итоговом экзамене

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.

7Образовательные технологии


Стандартные лекционно-семинарские занятия. Работа в компьютерном классе. Ответы на вопросы студентов.

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля


Несколько тысяч задач имеется в тексте книг:

В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись в формате pdf.

Задачник Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2008.

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


  1. Приведите определение метрического пространства, линейного нормированного пространства, евклидова пространства. Каковы соотношения между этими понятиями ?

  2. Построить кубический многочлен, который на концах отрезка [-1,1] принимает нулевые значения, а производная его на левом конце равна –1, а на правом Y. Построить график.

  3. Методом разделения переменных решить уравнение при Под словом решить понимается описание общего решения при произвольных начальных данных. Для каждого из вариантов построить несколько траекторий.

  4. Известно, что в момент первая популяция имела численность 2Y, а вторая Y. Первая популяция возрастает со временем согласно уравнению , а вторая . В какой момент численности обеих популяций будут (или были) равными?

  5. Построить график решения уравнения с начальным условием Y при . В какие моменты решение будет в два раза больше и в два раза меньше начального значения?

  6. Рассмотрим три дифференциальных уравнения первого порядка вида: , где с начальным условием при t=0: z(0)=Y. Методом разделения переменных найти решение в максимально возможных пределах в обе стороны по t. Существенен ли знак модуля в уравнении ? Построить графики решений.

  7. Для уравнения фон Берталанфи с определить время удвоения объема при различных начальных данных.

  8. Для уравнения Гомперца финальная масса вдвое больше начальной. Временной масштаб . Определить константу r.

  9. Привести к диагональному виду оператор с матрицей .

  10. Решить систему дифференциальных уравнений с начальным условием . Построить графики компонентов решения на отрезке [0,3].

  11. То же задание для системы с матрицей B=A-2E, E – единичная матрица.

  12. Ответить еще раз на вопросы 8-10, используя метод Рунге-Кутты. Сравнить полученные графики с аналитическими. Исследовать зависимость погрешности численного решения от шага схемы Р-К и времени интегрирования.

  13. Чтобы удержать груз на канате, перекинутом через балку, нужна сила кг, а чтобы начать подтягивать на свою сторону + Y кг. Определить вес груза. Определить коэффициент трения, если угол обхвата градусов.

  14. В следующих задачах начальные данные для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка пробегают единичную окружность: Требуется описать (и нарисовать кривые – геометрическое место точек) множество решений в следующие моменты времени t=-1, 1, 2. Для ориентировки: если А – нулевая матрица, то все три искомые кривые совпадают с единичной окружностью, а если А – единичная матрица, то это окружности радиуса . Для каждой задачи указать, имеется ли у системы первый интеграл ?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

15. Для уравнений химической кинетики при на фазовой области описать множество начальных условий, для которых реакция полностью заканчивается за время Y.

16. Пружинный маятник с трением описывается уравнением . Пусть Построить графики решения при нескольких различных начальных данных. Построить фазовые портреты.

17. Длина физического маятника без трения Y см. Ускорение свободного падения g=9,8 м/сек^2. Определить период малых колебаний. Численно определить амплитуду колебаний при которых период вдвое и втрое больше. Для уравнения идеального маятника энергетическим методом построить траектории. Интеграл для периода колебаний вычислить методом Симпсона. Построить график зависимости периода колебаний от его амплитуды.

18. Построить методом Рунге – Кутты траектории (несколько - с разными начальными данными) для уравнения маятника с трением .

19. Тот же вопрос для

20. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

21. Построить траектории для уравнения

22. Пусть функция - ступенчатая, попеременно на отрезках равной длины принимающая значения 1 и -1,

23. Для уравнения подобрать частоту так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний была максимальна. Построить графики и траектории для решения (с нулевыми начальными условиями) для этой частоты, а также для и 2.

24. Построить траектории для уравнения

25. Определить численно зависимость периода и сдвига фаз между компонентами решения от амплитуды периодических решений системы Лотки – Вольтера при Построить графики решений для нескольких вариантов начальных данных.

26. Для уравнений химической кинетики построить графики зависимости решения от времени при

27. Для многочлена определить значения , при которых имеется вырожденная стационарная точка. Как различаются многочлены со значениями по разные стороны от числа ? Построить графики для примеров.

28. Параметрическим называется резонанс вследствие изменения коэффициентов уравнения. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, при каких значениях параметров теряется устойчивость состояния покоя? Указать границы областей параметров, где ПР наблюдается. Для нескольких вариантов параметров построить графики решения.

29. Построить интерполяционные многочлены (16 штук) с узлами (–Y),0,1,2 с интерполяционными значениями . Построить графики.

30. Пусть каждая пара бессмертных кроликов на первом месяце не рожает, на втором месяце рожает (Y+1) пару, а потом каждый месяц по одной. Найти характеристические числа соответствующего уравнения (график характеристического многочлена построить). Оценить численность популяции спустя много месяцев и сравнить с результатом, полученным прямым вычислением (построить график разности). Вначале была 1 пара, только что родившаяся.

31. Для системы уравнений Лотки-Вольтерра с параметрами из задачи 25 определить погрешность (изменение первого интеграла в конечный момент времени по отношению к начальному) в зависимости от периода и шага разностной схемы Рунге-Кутты 4-го порядка с постоянным шагом (была разослана). Время интегрирования – 100 периодов.

32. Использовать экстраполяционный метод Ричардсона для уменьшения этой погрешности. В каком диапазоне шагов метод неэффективен и почему?

33. Привести пример линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой начало координат асимптотически устойчиво и существуют решения, модуль которых сначала растет, а потом убывает. Привести графики компонент и модуля таких решений. Возможно ли, чтобы все решения системы с асимптотически устойчивой стационарной точкой обладали таким свойством немонотонности ?

34. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек. Нарисовать изолинии f.

35. Пусть . Исследовать поведение функции в окрестности стационарных точек.

36. Исследовать системы методом разделения переменных. Устойчивы ли стационарные точки этих систем? Сопоставить с исследованием устойчивости методом Ляпунова.

37. Для уравнения пружинного маятника с трением с начальным условием определить число колебаний до остановки.

38. Методом Ньютона исследовать уравнение

39. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Докажите, что он оставляет инвариантным подпространство многочленов степени не выше 10. Вычислить матрицу этого оператора в базисе, составленном из мономов. Вычислить спектр этого оператора. То же для многочленов степени не выше 12.

40. Для дифф. уравнения Бесселя степени 2: построить решение, ограниченное в нуле. При малых r строить разложением в ряд Ньютона, а потом при некотором использовать полученные в качестве начальных данных для метода Рунге-Кутты, каковым интегрировать до . Оценить зависимость погрешности от числа членов ряда Ньютона, выбора и шага схемы. Применить метод Ричардсона для повышения точности.

41. Для сетки {-Y,0,1,2,3} построить многочлен степени 5, который во всех узлах обращается в нуль, а первая производная которого в левой точке равна 1. То же для правой точки. Построить графики.

42. Построить сплайн-интерполяцию функции sin(x) на этой же сетке при граничных условиях на первые производные на крайних точках: а) нулевые, б) истинные (получить дифференцированием синуса в крайних точках). То же для вторых производных. Построить графики.

43. На единичной окружности задана равномерная сетка из Y+10 точек. Значения сеточной функции равны значениям функции sin(x). Вычислить в точках сетки первую и вторую производные по компактной схеме и сравнить с истинным результатом. Построить графики.

44. На маятник сбоку дует ветер. Поэтому уравнение для его колебаний принимает вид: Нужно a) Объяснить физический смысл В; b) Построить фазовый портрет и проинтегрировать уравнение при А=1, В=Y. c)При этих же значениях параметров определить зависимость периода от амплитуды и сравнить со случаем В=0.

45. Для уравнения маятника с трением рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить соответствующие параллелограммы при t=-1, 1, 3. Построить график зависимости вронскиана от времени.

46. То же для начальных данных в круге . Приложить распечатку программы.

47. Для уравнения , зависящего от параметра рассмотрим решения с начальными данными <1,0> и <0,1>. На фазовой плоскости построить для |t|< 1 решения при Построить разности решений для 0,01 и 0, для 0,02 и 0. Построить решения для уравнения в вариациях, полагая Для тех же значений вычислить его решение. Сравнить оба метода. Оценить скорость нарастания погрешности метода уравнения в вариациях со временем.

48. Для уравнения второго порядка численным экспериментом определить, в зависимости от значений параметров , след и определитель матрицы монодромии. Определите мультипликатор с наибольшим модулем. Постройте кривые, на которых он равен 1, - они являются границами устойчивости нулевого решения (и параметрического резонанса). Сопоставить с результатами задачи, полученными в 47.

49. Для уравнения методом вариации постоянных получить общее решение.

50. Полный эллиптический интеграл второго рода задается формулой Этот интеграл при произвольных k не выражается через элементарные функции. Требуется вычислить E(k), E’(k) при k=0, 1. Построить квадратный многочлен на отрезке [0,1] по заданным значениям функции на краях отрезка и значении производной на левом краю. Построить график и сравнить с истинным (например, взятым из ИНТЕРНЕТа, или какого-нибудь справочника, или оцененного численно с помощью квадратурной формулы) графиком E(k). Как можно построить приближение к функции E(k), учитывающее асимптотику производной при K=1? При k=Y/60 вычислить погрешность |E(k)- |.

Справка. Эллиптические интегралы встречаются у Джона Уоллиса в 1655-1659гг. Веком позднее, в 1753г. их исследовал Леонард Эйлер. Используемая здесь форма этих интегралов введена А.М.Лежандром в начале 19в.

51. Шарик с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести без трения движется под действием силы тяжести по желобу, имеющему форму параболы, причем z(0)=1, z(Y)=0. Требуется с помощью численных экспериментов определить, какая из парабол обеспечивает наименьшее время для достижения конечной точки.

52. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы с гамильтонианом

Выписать систему Гамильтона. Траектории этой гамильтоновой системы (бихарактеристики), точнее их проекции на плоскость , описывают движение лучей в среде с переменной скоростью с. Докажите, что при с=const лучи – прямые. Если рассматривается точечный источник лучей (скажем, из начала координат), то начальные данные образуют двумерное подпространство Предположим, что среда «слоистая»: Вычислить геометрию лучей. Определить критический угол , при котором лучи не покидают волновод

8.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля


См. пункт 8.1.

9Порядок формирования оценок по дисциплине


На оценки и промежуточного и окончательного контроля влияет владение студентом аппаратом дифференциальных уравнений и предшествующих математических дисциплин (математическим анализом и линейной алгеброй), а также умение решать задачи по материалу курса.

Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.


Промежуточный контроль: 1 контрольная работа, учитываемая с весом 0,2. Домашняя работа учитывается с весом 0,2. Ответ на экзамене учитывается с весом 0,6.

Оитоговая = 0,2·Одом.зад +0,2·Оконтр + 0,6·Оэкзамен .


Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,

• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,

• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,

• 8 ≤ O ≤10 -отлично.


Способ округления всех оценок – арифметический.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом выставляет итоговая оценка по учебной дисциплине.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Указано по разделам выше, в том числе и рукопись книги в формате pdf.

10.2Основная литература


Указана по разделам выше

10.3Дополнительная литература


Указана по разделам выше

10.4Справочники, словари, энциклопедии не используются

10.5Программные средства


  • Выбор программных средств для реализации алгоритмов осуществляется студентом.

10.6Дистанционная поддержка дисциплины


Предусмотрена электронная переписка со студентами.

1   2   3   4

Похожие:

Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины: Моделирование Бизнес-процессов  для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010500....
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Прикладная математика и информатика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 "Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Прикладная математика и информатика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 "Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Упорядоченные множества для анализа данных для направления 010500. 68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра Автор Кузнецов С. О. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Программа дисциплины «Упорядоченные множества для анализа данных» для подготовки магистров по направлению 010500. 68 (магистерская...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Упорядоченные множества для анализа данных для направления 010500. 68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра Автор Кузнецов С. О. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Программа дисциплины «Упорядоченные множества для анализа данных» для подготовки магистров по направлению 010500. 68 (магистерская...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Объектно-ориентированные case-технологии для направления 010500. 62 Прикладная математика и информатика подготовки бакалавров Автор Незнанов А. А. ()
Программа дисциплины Объектно-ориентированные case-технологии (Технологии разработки сложных программных систем) для подготовки бакалавров...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Обучение машин и восстановление зависимостей для направления 010500. 68- прикладная математика и информатика подготовки магистров Автор Михальский А. И. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. Москва, Наука 1979
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Математика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 «Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Дискретная математика 2 для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Дискретная математика для направления Прикладная математика и информатика 010500
Автор программы: Доктор технических наук, профессор, академик Российской Академии естественных наук О. П. Кузнецов
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница