Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»




Скачать 268.01 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
страница3/4
Дата16.11.2012
Размер268.01 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
1   2   3   4

5Содержание дисциплины



Раздел 1. Дифференциальные и разностные уравнения, как модели явлений и процессов в механике, экономике, биологии, демографии, теории военных конфликтов, теории игр.

Модель Мальтуса, логистическое уравнение. Мягкий и жесткий план лова рыбы. Модели Гомперца и фон Берталанфи. Модель Солоу. Уравнения Лотки – Вольтерра. Модель военного конфликта. Армии и орды. Преобладание рождаемости и преобладание истребления – точка бифуркации. Две популяции конкурируют за общий ресурс. Случайные блуждания на сетке и игра с постоянной суммой. Последовательность Фибоначчи. Формулы решения для однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней. Разностные уравнения для вероятности выигрыша и для математического ожидания времени окончания игры. Модель Лесли. Асимптотика решения на бесконечности. Гармонические колебания. Физический маятник без трения. Пружинный маятник с трением о стол. Аттрактор этой модели. Метод Герона и метод Ньютона как нелинейное разностное уравнение. Условия сверхсходимости итерационного процесса. Бассейны притяжения и множества Жюлиа.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Жесткие и мягкие математические модели. М., МЦНМО, 2008.

2. А.О.Гельфонд. Конечно-разностные уравнения. М. «Наука», 1967, URSS, 2006.

3. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993.

3. В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают

и как их решать? Рукопись в формате pdf.


Раздел 2. Первые интегралы и устойчивость по Ляпунову.

Определение первого интеграла. Фазовые портреты. Первый интеграл для некоторых уравнений второго порядка. Уравнение Кортевега – де Вриса: первый интеграл и солитонное решение. Первый интеграл для модели войн при доминировании истребления. Почему при доминировании рождаемости первого интеграла нет – роль типа стационарной точки. Лемма Морса (без док.).


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 2002.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

В.А.Гордин Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают

и как их решать? Рукопись в формате pdf.


Раздел 3. Семейства траекторий. Уравнение в вариациях. Гомотопия. Метод стрельбы (пристрелки) для решения краевой задачи. Изменение фазового объема в окрестности траектории. Дивергенция векторного поля. Теорема Лиувилля, спектр матрицы системы и разбегание траекторий.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 2002.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.


Раздел 4. Интерполяция и аппроксимация. Интерполяция и экстраполяция. Формула Лагранжа для интерполяционного многочлена. Проблема устойчивости интерполяции к шумам. Нормированные пространства. Пространство C. Константа Лебега. Рост константы Лебега со степенью интерполяционного многочлена на равномерных и чебышёвских сетках. Тригонометрическая интерполяция. Аппроксимация производных на сетке. Порядок аппроксимации. Компактные схемы аппроксимации. Сплайны, их порядок и дефект. Кубические сплайны порядка 3 и дефекта 1. Граничные условия. Трехдиагональные системы. Оценка спектра по теореме Гершгорина. Прогонка. Оценка числа операций. Преимущества сплайн-интерполяции.


Основная литература.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

2. В.А.Гордин: Как это посчитать?. М., МЦНМО, 2005.


Дополнительная литература

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., Мир, 1972.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986, 2002.

4. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М., Мир, 1986.

5. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.


Раздел 5. Введение в разностные схемы для решения задачи Коши. Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. Метод экстраполяции Ричардсона для повышения точности схемы. Квадратурные формулы. Вычисление интегралов с особенностями подынтегрального выражения. Оценка интегралов, зависящих от параметра.


Основная литература.

1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков: Численные методы. ``Наука'', М., 1987.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, Физматлит, 2008.


Дополнительная литература

1. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

2. Р.П.Федоренко: Лекции по вычислительной физике. М., МФТИ, 1994, 2008.


Раздел 6. Метод Фурье разделения переменных для решения начально-краевых задач для простейших уравнений математической физики. Вывод уравнений переноса, теплопроводности, диффузии. Самосопряженность оператора второй производной в пространстве . Роль граничных условий. Ортогональные базисы. Полиномы Лежандра и формула Родрига. Собственные функции оператора второй производной. Разложение в ряд Фурье. Представление функции Грина в виде ряда по собственным функциям.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.


Раздел 7. Введение в теорию обобщенных функций. Линейные непрерывные функционалы в пространстве С. Дельта-функция. Функционалы типа функция. Линейные операторы в пространстве функций: ограниченные и неограниченные. Примеры. Дельтообразная последовательность. Слабая сходимость последовательности функционалов. Обобщенная производная. Производная дельта-функции. Обобщенные решения дифференциального уравнения с особенностями. Преобразования Фурье обобщенных функций.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

2. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.


Раздел 8. Основные свойства преобразования Фурье и преобразования Лапласа. Пространство . Преобразования Фурье. Основные свойства: линейность, унитарность (теорема Планшереля – без док.). Различные нормировки преобразования. Операторы сдвига и дифференцирования. Символы дифференциального и разностного операторов. Формула обращения. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Преобразование Фурье от убывающей экспоненты, умноженной на функцию Хевисайда. Преобразование Фурье от рациональных функций. Интеграл Лапласа. Преобразование Фурье от гауссианы. Собственные функции преобразования Фурье. Свертка. Решение уравнения в виде свертки. Убывание образа Фурье на бесконечности. Операционное исчисление. Оригиналы и изображения. Формулы для преобразования функции Хевисайда, экспоненты, дельта-функция и ее производные. Сдвиг и дифференцирование. Изображение периодических функций. Формула обращения. Формула свертки. Оригиналы рациональных функций. Применение к задаче Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами.


Основная литература.

1. В.А.Гордин: Как это посчитать? М., МЦНМО, 2005.

2. В.А.Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М. ФИЗМАТЛИТ, 2010.

3. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М., Наука, 1971.


Дополнительная литература

Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т.1., М., Наука, 1969.

2. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. М., ``Наука'', 1984.

3. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М., Мир, 1965.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-3. М., Наука, 1969, Спб., Лань, 2002.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., Физматгиз, 1960.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М., Наука, 1966.


Раздел 9. Специальные типы систем ОДУ. Теория Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы. Анализ устойчивости для решений уравнений с периодическими коэффициентами. Гамильтоновы системы. Сохранение гамильтониана. Сохранение фазового объема. Примеры.


Основная литература.

1. В.И.Арнольд: Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002.

2. В.А.Гордин: Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.


Дополнительная литература

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. В.И.Арнольд: Математические методы классической механики. ``Наука'', М., 1989.

3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц: Механика, ``Наука'', М., 1965.


Раздел 10. Особые точки дифференциальных уравнений. Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его определяющее уравнение. Метод Фробениуса.


Основная литература.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.


Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

1   2   3   4

Похожие:

Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины: Моделирование Бизнес-процессов  для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010500....
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Прикладная математика и информатика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 "Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Прикладная математика и информатика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 "Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Упорядоченные множества для анализа данных для направления 010500. 68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра Автор Кузнецов С. О. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Программа дисциплины «Упорядоченные множества для анализа данных» для подготовки магистров по направлению 010500. 68 (магистерская...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Упорядоченные множества для анализа данных для направления 010500. 68 Прикладная математика и информатика подготовки магистра Автор Кузнецов С. О. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Программа дисциплины «Упорядоченные множества для анализа данных» для подготовки магистров по направлению 010500. 68 (магистерская...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Объектно-ориентированные case-технологии для направления 010500. 62 Прикладная математика и информатика подготовки бакалавров Автор Незнанов А. А. ()
Программа дисциплины Объектно-ориентированные case-технологии (Технологии разработки сложных программных систем) для подготовки бакалавров...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Обучение машин и восстановление зависимостей для направления 010500. 68- прикладная математика и информатика подготовки магистров Автор Михальский А. И. () Рекомендована секцией умс «Прикладная математика и информатика»
Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. Москва, Наука 1979
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины иностранный язык (английский) для направления 010500. 62 "Математика"
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500. 62 «Прикладная...
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Дискретная математика 2 для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982
Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» iconПрограмма дисциплины Дискретная математика для направления Прикладная математика и информатика 010500
Автор программы: Доктор технических наук, профессор, академик Российской Академии естественных наук О. П. Кузнецов
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница