Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой




Скачать 192.46 Kb.
НазваниеМатематические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой
Дата16.11.2012
Размер192.46 Kb.
ТипАвтореферат


На правах рукописи


Бейбалаев Ветлугин Джабраилович




МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ

С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ


05.13.18- Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ


Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук


Махачкала 2009


Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики

Дагестанского государственного университета


Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Мейланов Р.П.


Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Жорник А.И.,

Таганрогский государственный педагогический институт


Кандидат физико-математических наук,

Мамчуев М.О.,

Научно-исследовательский институт

прикладной математики и автоматизации

Кабардино-Балкарского научного

центра РАН

Ведущая организация: Институт прикладной математики и

информатики ВНЦ РАН, г. Владикавказ

Защита состоится «23» апреля 2009 г. в 14 20 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ТТИ ЮФУ,
ГСП-17А.


С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного Федерального университета.


Автореферат разослан « 16 » марта 2009 г.





Ученый секретарь

диссертационного совета Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.

Развитие прикладных аспектов математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интегродифференцирования дробного порядка.

В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата интегродифференцирования дробного порядка позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности, открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается.

Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений, позволяющий охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых с позиций традиционных подходов.

Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление – физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера.

Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение, связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидро- и газо -динамики в сложных системах, как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.

Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизация. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.

Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой, основанные на математическом аппарате интегродифференцирования дробного порядка актуальна.

На актуальность рассматриваемой в диссертации темы показывает также многочисленные работы в этой области Нахушева А.М., Чукбар, Нигматулина Р.Р., Мейланова Р.П., Лубашевского И.А., Забаровского В.С., Городецкого А.Я., Нахушевой В.А., Сербиной Л.И., Гекиевой С.Х., Головизина В.М., Кисилева В.П., Charles Tadjeran, Mark M. Meerschaert и др.

Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

- на основе математической модели линейного гармонического осциллятора разработать математическую модель «фрактального» осциллятора;

- на основе известных моделей теплопереноса разработать математическую модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой с учетом нелокальностей по времени (память) и по пространству (пространственные корреляции);

- разработать численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по времени и по пространственной переменной.

Обоснованность и достоверность диссертационных исследований определяются корректным применением методов исследований, математической обоснованностью полученных решений, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, проверкой адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

Научная новизна работы:

  • Разработана математическая модель «фрактального» осциллятора.

  • Разработана математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой.

  • Разработана математическая модель процесса кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой, учитывающая особенности межфазной границы.

  • Разработаны численные методы решения краевых задач для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.

  • Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные математические модели и численные методы решения краевых задач могут служить основой для моделирования неравновесных процессов и построения численных алгоритмов решения задач тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой. Область их применения - исследование неравновесных процессов в открытых системах с учетом эффектов памяти, пространственных корреляций и самоорганизаций, прогнозирование и анализ нелинейных колебательных процессов.

Исследования по теме диссертации проводилось в рамках научно-исследовательских работ кафедры прикладной математики Дагестанского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на заседаниях кафедры прикладной математики, в докладах ежегодных преподавательских конференций математического факультета Дагестанского государственного университета и прошла апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. II республиканская научно-практическая конференции «Информационные и телекоммуникационные системы: интегрированные корпоративные сети. Махачкала, ДНЦ РАН, 2002.

2. Пятьдесят седьмая научная сессия, посвященная дню Радио. Москва, 2002.

3. Первая Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2003.

4. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2004.

5. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2006.

6. Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2006.

7. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии» Москва, 2007.

8. Третья Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2007.

9. Пятая школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2007.

10. Пятая региональная научно-техническая конференция «Дагинформ-2008». Махачкала, 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 14 работ и одна работа принята к опубликованию. Из них две работы [1,2] опубликованы и одна работа [3] принята к опубликованию в изданиях рекомендованных ВАК для публикации основных результатов. Работа [4] зарегистрирована в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом центре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001. Пять работ [9,10,11,12,13] опубликованы в материалах международных и региональных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 132 стр.


ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор проблемы, рассматриваемой в диссертации, анализ литературы, сформулированы цели диссертации и обоснована актуальность работы.

Первая глава является вводной. В этой главе рассматривается математическое определение фрактала. Приведены примеры геометрических и алгебраических фракталов и рассмотрена методика их построения. Дается интерпретация фрактала с позиции физических свойств и связи особенностей геометрии свойств объекта с их физическими свойствами.

Глава II посвящена построению математической модели «фрактального» осциллятора. В качестве математической модели фрактального осциллятора рассмотрено уравнение:

, (1)

где - производная Caputo,
- производная Римана- Лиувилля, коэффициент обычного затухания, - вынуждающая сила, - частота.

Предложенная математическая модель учитывает фрактальность среды и нелокальности во времени. В случае когда , мы получаем уравнение линейного гармонического осциллятора.

В случае, когда =0 уравнение (1) примет вид:

(2)

где , - производная Caputo. Рассмотрен случай, когда . Здесь - функция Миттаг-Лефлера. Получено решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям .



В случае, когда из (1) получим:

, (3) где - коэффициент «обычного» затухания решений.

Получено решение уравнения (3)



Установлено, что при переходе к пределу получается решение для «фрактального» осциллятора без затухания

.

Таким образом, решения уравнения для «фрактального» осциллятора с затуханием содержат в частном случае известные ранее решения, и расширяет область решений.

Разработанная модель может служить основой для моделирования сложных нелинейных колебательных процессов в биологических и экономических системах.

Глава III посвящена построению математической модели переноса в средах с фрактальной структурой.

Процесс переноса в средах с фрактальной структурой характеризуется нестационарным распределением частиц в пространстве, где расстояние x, которое прошла частица за время t из начальной точки, растет по степенному закону. Рассмотрено в качестве математической модели теплопереноса во фрактальных средах, обобщенное уравнение теплопроводности, коэффициенты которого учитывают выделение и перенос тепла:

(4)

где -Caputo, - производная Римана- Лиувилля.

Здесь температура, - коэффициент теплопроводности, удельная плотность тепловыделения за счет внутренних источников.

Предполагаемая математическая модель учитывает фрактальность среды; плотностные свойства; пространственные и временные корреляции.

В случае, когда уравнение (4) примет вид:

. (5)

Получены решения уравнения (5) в бесконечной, ограниченной и полуограниченной областях. Рассмотрены следующие задачи:

Задача 1 (случай неограниченной области). Найти решение уравнения

,

в области , удовлетворяющее начальному условию . Здесь - производная Caputo.

Эта задача с производной Римана-Лиувилля исследована в работе
Гекиевой. Получено решение:

. (6)

В случае, когда имеем

.

Решение в случае производной Caputo качественно отличается от решения, полученного в работе Гекиевой. В нашем случае в решении отсутствует сингулярный множитель , что качественно важно при моделировании процессов переноса в средах с фрактальной структурой.

Задача 2 (случай ограниченной области с краевыми условиями третьего рода). Найти решение уравнения

,

в области удовлетворяющее условиям:



, при при x=.

Эта задача с краевыми условиями первого рода была исследована в работе Гекиевой. В нашем случае мы рассматриваем краевые условия третьего рода. Получено решение:

,

где ,

а корни уравнения .

Задача 3 (случай полуограниченной области). Найти решение уравнения в области , , удовлетворяющее начальному условию и граничному условию

Получено решение:

.

А в случае, когда , и уравнение (4) примет вид: ,

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальному условию и краевым условиям , t>0 предложен численный метод. Здесь .

Как указано в работах Головизина В.М., Кисилева В.П., несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения.

Построена разностная схема с весами:



где

Эта разностная схема определена на 6 точечном шаблоне. В случае мы получаем явную схему на 4 точечном шаблоне

, (7)

где . Доказана теорема.

Теорема 1. Разностная схема (7) устойчива, если

где ,

В случае получаем полностью неявную схему с опережением на шаблоне:

(8)

Доказана теорема об устойчивости разностной схем (8).

Теорема 2. Неявная разностная схема (8) безусловно устойчива, в случае .

В случае, когда нужно учитывать эффекты памяти и пространственные нелокальности, в качестве математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой рассмотрено уравнение (4):



где , , с граничными условиями и начальным условием в области .

Построена разностная схема:

(9)

где . Доказана теорема об устойчивости разностной схемы (9).

В случаи нелокальности по времени вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, характера уменьшения температуры, получается распределение температуры, имеющий степенной характер. Анализ результатов расчета показал, что степенной характер изменения температуры в пространстве является физическим проявлением фрактальных свойств среды.

В §3.4 рассмотрена математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой.

В качестве уравнения кинетики внутридиффузионной сорбции в средах с фрактальной структурой исследовано уравнение:

, (10)

где, - эффективный размер зерен, - эффективный внутридиффузионный коэффициент, - концентрация насыщения твердой фазы, -производная Caputo.

Решение уравнения (10) зависит от начальных условий и значения параметра . Для 0<1 и для начального условия, имеем

.

В случае изменении порядка производной изменяется функциональный вид решения. Расчеты показали, что такое изменение характеризует изменение состояния и свойств вещества. Разработанную модель можно использовать для оптимизации адсорбирующих процессов при получении, в частном случае, полукристаллических пленок чувствительных элементов.

Параграф 3.5 посвящен выводу обобщенного уравнения Фоккера-Планка. На основе уравнения Смолуховского-Эйнштейна, которое записывается для условной плотности вероятности , которое имеет вид:

,

выводится обобщенное уравнение Фоккера-Планка

,

где - представляют собой обобщенные моменты.

Полученное обобщенное уравнение Фоккера-Планка расширяет область его приложений и открывает новые возможности исследования процессов переноса с учетом эффектов памяти и пространственных корреляций в средах с фрактальной структурой.

Глава IV посвящена вычислительному эксперименту по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. В данной главе численными расчетами построены графики полученных решений, Показано наличие качественно новых решений по сравнению с традиционными подходами.

Для практических приложений полученных моделей, имеет смысл графическое изображение решений и их сравнение с решениями соответствующих дифференциальных уравнений с целыми производными. Это дает нам возможность интерпретировать экспериментальные данные. При этом особый интерес представляет появление качественно новых решений, которые позволяют глубже понять изучаемое явление. При построении графиков решений были использованы разработанные в диссертации явные и неявные конечно-разностные схемы и полученные аналитические решения рассмотренных в диссертации математических моделей.

На рис. 1 приведен графики численного решения задачи фрактального осциллятора с вынуждающей силой при различных значениях параметра .




Рис. 1. Результаты моделирования фрактального осциллятора с вынуждающей силой для моментов времени при различных значениях

Как видно на рис.1 при уменьшении параметра амплитуда колебаний резонансных решений фрактального осциллятора становится меньше. Кроме этого, при выбранных значениях параметров имеет место слабое изменение периода колебаний. Причина этого заключается в том, что переход к производным дробного порядка означает учет необратимых процессов.

На рис. 2 приведен графики численного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по пространственной переменной при различных значениях параметра в заданный момент времени.

Как видно на рис.2 с уменьшением показателя производной в заданный момент времени, максимальное значение температуры увеличивается и появляется область локализации температуры. Такое поведение в традиционных подходах возникает при учете нелинейных эффектов. Таким образом, учет пространственных нелокальностей приводит к появлению решений аналогичных решениям нелинейных уравнений.





Рис. 2. Графики численного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка пространственной переменной при (график 1 при , график 2 при , график 3 при ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Главным результатом работы является научно обоснованное решение проблемы создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой, расчетно-экспериментальный анализ предложенных моделей. При решении этой проблемы получены следующие основные результаты.

1. На основе обобщения математической модели линейного гармонического осциллятора построена математическая модель «фрактального» осциллятора. Для резонансных решений установлено уменьшение амплитуды и слабое изменение периода колебаний при уменьшении показателя дробной производной.

2. Построена математическая модель процесса тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой. Установлено, что вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, уменьшения температуры, распределение температуры в средах с фрактальной структурой имеет степенной характер. А с уменьшением показателя дробной производной по координате в заданный момент времени, установлено увеличение максимального значения температуры и появление области локализации температуры.

3. Разработаны явные и неявные разностные схемы для решения краевых задач для уравнения переноса с производной дробного порядка и получены численные результаты. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производными дробного порядка по времени и по координате.

4. Построена математическая модель кинетики-сорбции ионов в средах с фрактальной структурой. Установлено, что в случае изменении порядка производной изменяется функциональный вид решения, которое характеризует изменение состояния и свойств вещества.

5. Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка позволяет исследовать новый класс стохастических процессов, которые реализуются в системах с фрактальной структурой.

6. Проведен вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. Проведена проверка адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шахбанова М.Р. Уравнение параболического типа с дифференцированием дробного порядка// Вестник ДНЦ РАН.- 2006.- С. 11-15.

2. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.- Т.1(118).-2009.

3. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Шахбанова М.Р.
Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Математическое моделирование.-2009. (Принято к опубликованию).

4. Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка и его применение к задачам тепломассопереноса// Современные проблемы науки и образования.- 2007.-№1.- С.7-13. (Зарегистрировано в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом центре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001).

5. Бейбалаев В.Д. Математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой// Современные проблемы науки и образования.- 2008.-№6.- С. 5.

6. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестник ДГУ.- 2008.- Вып.6.- С. 46-54.

7. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщенная задача диффузии на полуоси// Современные наукоемкие технологии.- 2007.-№8.- С. 82-84.

8. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Фундаментальные исследования.- 2007.- №12.- С. 249-251.

9. Бейбалаев В.Д. Приложение дифференциальных уравнений дробного порядка к задачам теории информации// Материалы Международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики».- Нальчик, 2006.-
С.56-60.

10. Бейбалаев В.Д. Задача теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения».- Махачкала, 2007.- С. 56-60.

11. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Фрактальный осциллятор с затуханием//Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.- Махачкала, 2003.- С.70-71.

12. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение Фокер Планка//Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.- Махачкала, 2003.- С. 68-70.

13. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Математический метод обработки сигнала с фрактальной структурой// Сб. научных трудов V региональной научно-технической конференции «Дагинформ-2008».- Махачкала, 2008.

14. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщение теоремы Котельникова на случай сигнала с фрактальной структурой// Вестник ДГУ.- 2007.- Вып.1.- С. 73-76.

15. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. О дискретизации сигнала с фрактальной структурой// Труды 57-й Научной сессии, посвященной Дню радио.- Москва, 2002.- Т.2.- С. 230-232.


Личный вклад соискателя по перечисленным работам может быть охарактеризован следующим образом:

- в работах [1,3,6,7,11,12] – постановки задач выполнены совместно, решения и анализ решений принадлежит соискателю;

- работы [2-5] и [8-10] выполнены без соавторов;

- в работах [13-15] численные расчеты и графики решений получены соискателем.

Соискатель Бейбалаев В.Д.





Подписано в печать 12.03.09. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Формат 60*84 1/16. Усл. печ.л – 1,25

Заказ № 124. Тираж 100 экз.

__________________________________________________

Отпечатано в типографии “Радуга-1”

г. Махачкала, ул. Коркмасова 11а





10,11,8,13,12,9,14,7,6,15,4,17,16,5,18,3,2,19,2,19,20,1,20,1



Похожие:

Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconПрограмма: Магистратура
Модели линейной алгебры и их применения. Математические модели в аналитической геометрии. Модели использования теории математического...
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconАвтоматизированная диалоговая система надра–Д исследования процессов в многокомпонентних средах
Описан автоматизированный диалоговый программно-алгоритмический комплекс надра–Д, который предназначен для исследования процессов...
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconМатематические модели в аэрогидромеханике часть I
Загузов И. С., Поляков К. А. Математические модели в аэрогидромеханике. Ч. 1: Учебное пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет»,...
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconРабочая программа спецкурса «Математические модели в экологии»
Спецкурс «Математические методы в экологии» излагается на основе математического анализа, дифференциальных уравнений и методов вычислений....
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconМатематическое и физическое моделирование систем, структур и процессов в природе и обществе, информационные технологии, создание современной информационной
Математические модели и их применение к анализу систем и процессов в природе и обществе
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconМатематические модели в аэрогидромеханике часть II
Загузов И. С., Поляков К. А. Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2: Учебное пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет»,...
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconАкадемия наук сибирское отделение
Системы автоматизации, cals-технологии, математические модели и методы исследования сложных управляющих систем и процессов
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconМатематические модели турбулентного обмена для гидродинамических процессов в мелководных водоемах
Охватывает всю толщу вод за счет наложения различных механизмов
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconМетодические указания по изучению теоретической части Чебоксары 2009 г
Общие сведения о сигналах и помехах, их математические модели; непрерывные и дискретные каналы связи, их математические модели; преобразование...
Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой iconПрограмма дисциплины дискретные математические модели для направления 080100. 62 «Экономика»
Требования к студентам: Изучение курса "Дискретные математические модели" не требует предварительных знаний, выходящих за пределы...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница