Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики




Скачать 106.56 Kb.
НазваниеРоссийской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики
Дата15.11.2012
Размер106.56 Kb.
ТипПояснительная записка
Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации


Государственный университет –

Высшая школа экономики


Факультет бизнес-информатики


Отделение прикладной математики


Программа дисциплины


ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА


Для направления 080700.62 – БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА


Автор программы: д.ф.-м.н. Д.И.Пионтковский


Рекомендовано секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и статистические кафедры высшей математики

методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав . кафедрой

__________А .С .Шведов __________Ф .Т .Алескеров

“___” __________ 200_ г . “___” _____ _____ 200_ г .


Утверждена УС

______________

Ученый секретарь

_________________


“___” __________ 200_ г .


Пояснительная записка


Требования к студентам: Изучение курса "Геометрия и алгебра" не требует

предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней

школы.


Аннотация.


Курс "Геометрия и алгебра" включает в себя начала линейной алгебры, аналитической геометрии и общей алгебры в том объеме, который является необходимым для современного специалиста по прикладной математике. Центральной частью курса служат высшая алгебра и ее алгоритмические приложения, которые являются необходимым фундаментом для большинства из остальных областей высшей математики. Особое внимание уделяется экономико-математическим моделям, построенным на основе конструкций линейной алгебры.

Овладение основными понятиями курса необходимо для дальнейшего изучения многомерного анализа, эконометрики, дискретного анализа и численных методов.


Учебные задачи курса.


Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями высшей алгебры, их геометрическими интерпретациями и приложениямик экономическим задачам.

В результате изучения курса «Геометрия и алгебра» студенты

должны:

  • уметь пользоваться методами линейной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических;

  • иметь представление об основных алгебраических структурах, используемых в перечислительных и алгоритмических задачах, в том числе о конечных группах и кольце многочленов.


Ко всем разделам будут предлагаться геометрические иллюстрации и примеры экономического содержания.


Тематический план учебной дисциплины





Название темы

Всего часов

В т.ч. лекции

В т.ч. семинары

Самост. работа

1

Векторы и матрицы

19

5

4

10

2

Определитель

27

7

8

12

3

Решение систем линейных уравнений

50

10

10

30

4

Линейные пространства

36

8

8

20

5

Евклидовы пространства

40

10

10

20

6

Собственные векторы

54

12

12

30

7

Аффинные пространства

20

4

4

12

8

Задача линейного программирования

18

4

4

10

9

Основные алгебраические структуры

60

12

12

36

Итого




324

72

72

180


Содержание программы


  1. Векторы и матрицы.


Векторы как упорядоченные наборы чисел. Линейные операции. Скалярное произведение, неравенство Коши, неравенство треугольника, угол между векторами.


Матрицы и линейные операции над ними. Простейшие матричные уравнения, система линейных уравнений в матричной форме. Невырожденные (обратимые слева) матрицы.


Простейшая линейная производственная модель.



  1. Определитель.


Перестановки. Знак перестановки, разложение перестановки в произведение транспозиций.

Понятие группы. Примеры.


Определитель квадратной матрицы.


Натуральные числа: аксиоматика Пеано. Метод математической индукции. Свойства определителя. Способы вычисления определителей. Определитель произведения матриц.


  1. Решение систем линейных уравнений.


Решение системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. Формулы Крамера.

Формула обратной матрицы.


Элементарные преобразования. Общая схема редукции. Метод Гаусса.


Ранг матрицы: различные определения. Миноры и вычисление ранга.

Другие способы вычисления обратной матрицы.


Теорема Кронекера-Капелли. Общий вид решений системы линейных уравнений.


  1. Линейные пространства.


Определение и примеры линейных пространств. Подпространство. Линейная независимость, базис, размерность. Замена координат.


Линейные отображения и линейные операторы. Изоморфизм линейных пространств. Замена базисов.


Ядро и образ линейного отображения. Точная последовательность. Эйлерова характеристика точной последовательности.


  1. Евклидовы пространства.


Билинейные и квадратичные формы. Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Канонический вид и нормальный вид квадратичной формы, закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.


Евклидовы пространства. Матрица Грама. Неравенство треугольника, неравенство Коши. Угол между векторами, объем параллелепипеда. Проекции, нормали, расстояния.


  1. Собственные векторы.


Комплексные числа. Арифметические операции, формулы Муавра. Решение простейших алгебраических уравнений.

Симметрические многочлены. Теорема о симметрических многочленах. Основная теорема алгебры.


Инвариантные подпространства и собственные вектора линейного оператора. Собственные значения и характеристический многочлен. Теорема о минимальной размерности инвариантных подпространств. Диагонализуемый оператор.

Корневые подпространства. Жорданова форма и жорданов базис.


Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные (симметрические) операторы и ортонормированные собственные базисы. Ортогональные операторы.


Модель межотраслевого баланса.


  1. Аффинные пространства.


Преобразование координат точки при замене системы координат . Линейные отображения . Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений . Аффинные и изометрические отображения.


Основы аффинной геометрии. Приводимые и неприводимые алгебраические многообразия. Кривые и поверхности второго порядка.


  1. Задача линейного программирования.


Выпуклость в линейном пространстве. Выпуклая оболочка.


Примеры задач линейного программирования. Общая формулировка. Геометрический метод решения двумерной задачи.

Двойственная задача и ее экономическая интерпретация. Теорема о равновесии.


Общие принципы построения алгоритмов решения задачи линейного программирования.



  1. Основные алгебраические структуры.



Алгебраические системы, их гомоморфизмы и изоморфизмы.


Полугруппа, левый (правый) нейтральный и обратный элементы. Группа, подгруппа. Примеры конечных групп, группы симметрий. Теорема Кэли. Циклическая группа. Теорема о подгруппах циклической группы, ее применение для построения кругового многочлена. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа. Факторгруппа. Нормальные подргуппы и гомоморфизмы групп. Действия группы на множестве, группы симметрий.


Кольцо, тело, поле. Примеры полей: числовые поля, поле вычетов. Кольцо вычетов, кольцо матриц. Кольцо формальных степенных рядов, кольцо многочленов над кольцом. Теорема о правом (левом) делении многочленов с остатком, обобщенная теорема Безу. Матричные многочлены, теорема Гамильтона-Кели, минимальный многочлен и его связь с характеристическим многочленом. Идеалы и их связь с гомоморфизмами колец.


Кольцо многочленов от одной переменной над полем, его идеалы. Алгоритм Евклида. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей, степень неприводимого многочлена над полями комплексных, действительных и рациональных чисел, над конечным полем. Формулы Виета. Целые и рациональные корни целочисленных многочленов. Характеристика поля, ее свойства. Теорема о числе элементов конечного поля. Производная многочлена, выделение кратных неприводимых множителей.


Формы рубежного контроля и структура итоговой оценки


Предусмотрены контрольная работа в конце 1-го и в 3-го модулей и большое домашнее задание, которое выполняется в течение всего срока обучения. В конце 5-го модуля проводится экзаменационная работа.


Оценка за зачет З по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма

З = 0,2 С +0,3 К1 +0,5K2

10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях С и двух контрольных работ К1 и K2 с округлением до целого числа баллов.

Итоговая оценка К формируется как взвешенная сумма

К = 0,2 С +0,3 З +0,5 Э


10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях, зачёта З и экзаменационную работу Э с округлением до целого числа баллов.


В течение обучения студентам предлагаются индивидуальные домашние задания, по одной задаче на каждый логический раздел курса. У слушателей, не сдавшим своевременно какое-то количество N из этих задач, из оценки за зачетную (соответственно, экзаменационную) контрольную вычитается N/2 баллов.


При округлении учитывается работа на семинаре. Оценка по 5-балльной системе выставляется по следующим критериям:


•0 < К< 3 - неудовлетворительно,

•4 < К < 5 - удовлетворительно,

•6 < К < 7- хорошо,

•8 < К < 10 -отлично.


Литература


Базовые учебники


  1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971

  2. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. (Любое издание, кроме 1-го, напр., М., Наука, 1971)

  3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. (Любое издание, напр., М., БИНОМ, 2005)


Дополнительная литература


  1. Aleskerov F., Ersel H., Saĝlem E., Linear Algebra for Economists (текст распространяется среди слушателей курса)

  2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М., Факториал, 1999

  3. Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, М., ГУ ВШЭ, 1998



Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать около двух тысяч задач из

“Сборника задач по линейной алгебре” И. В. Проскурякова.


Автор программы: Д. И. Пионтковский

Похожие:

Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики icon«Государственный университет Высшая школа экономики» Факультет бизнес-информатики
Мсэ-т рекомендация X. 805 (10/2003) Архитектура безопасности для систем обеспечивающих связь “от конца до конца”
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconПравительство Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет прикладной политологии
Актуальность предметного поля связана с глобальными процессами, меняющими картину современного мира и взаимодействие между устоявшимися...
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет экономики Программа дисциплины
Магистерские программы «Экономическая моделирование и экономическая политика» и «Математические методы анализа экономики»
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики факультет мировой экономики и мировой политики
«Креативное письмо» универсальная разновозрастная технология для развития письменной речи
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Факультет прикладной политологии Отделение деловой и политической журналистики

Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный Университет Высшая школа экономики Санкт-Петербургский филиал Кафедра Прикладной политологии
«Развитие правозащитного движения в СССР и современной России и проблемы толерантности»
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет Социологии
Курс «Социологические методы в маркетинговых исследованиях» состоит из следующих элементов
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет Социологии
Батыгин Г. С. Лекции по методологии социологических исследований. М.: Аспект Пресс, 1995. 14
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая Школа Экономики Факультет социологии
Радаев В. В. Социология рынков: к формированию нового направления. М.: Гу-вшэ, 2003
Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Отделение прикладной математики iconРоссийской Федерации Государственный университет Высшая Школа Экономики Факультет социологии
Радаев В. В. Социология рынков: к формированию нового направления. М.: Гу-вшэ, 2003
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница