Решение тригонометрических неравенств методом интервалов




Скачать 105.69 Kb.
НазваниеРешение тригонометрических неравенств методом интервалов
Дата конвертации12.11.2012
Размер105.69 Kb.
ТипРешение


«Решение тригонометрических неравенств

методом интервалов»


учитель: Кулагина Инна Валентиновна

Выступление на ШМО.











ОГЛАВЛЕНИЕ


  1. Введение. Актуальность темы.

Цели и задачи исследования.

  1. Основная часть

    1. Обобщенный метод интервалов.

    2. Алгоритм решения тригонометрических неравенств методом интервалов.

    3. Примеры решения тригонометрических неравенств.

  2. Заключение




  1. ВВЕДЕНИЕ


Изучая решение простейших тригонометрических неравенств, меня заинтересовал вопрос о способах решения более сложных тригонометрических неравенств. А в частности можно ли такие неравенства решать уже знакомым методом интервалов?

Это оказалось не только возможно, но и увлекательно, а использование тригонометрического придает красоту в решении. Мне удалось применить этот метод при решении семи различных тригонометрических неравенств.


Основная цель моего реферата - изучить применение алгоритма метода интервалов при решении различных тригонометрических неравенств, в том числе в нестандартных ситуациях. Для этого были поставлены следующие задачи:

  • обобщить алгоритм метода интервалов для применения его к решению различных неравенств;

  • отобрать материал для решения тригонометрических неравенств;

  • создать презентацию исследования.


Методы исследования – поисковый, аналитический, применение

компьютерных технологий.


Основная часть

1. Обобщенный метод интервалов.


Для решения неравенств применяется метод интервалов (метод промежутков), который основан на следующем утверждении.

Если функция f(х) на интервале (а; b) непрерывна и не обращается в

нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Этот метод с небольшими изменениями и дополнениями может быть использован для решения не только рациональных, но и произвольных неравенств видов f(x) g(x)… V 0, где f(x), g(x) – непрерывные функции, а символ V есть одно из неравенств: Применительно к таким неравенствам этот метод, называемый ещё обобщённым методом интервалов, включает в себя следующие операции:

0.Нахождение области определения левой части неравенства (ОДЗ), кроме, быть может, без учёта корней знаменателя.

1.Нахождение корней числителя и , может быть, знаменателя.

2.Нанесение найденных корней на числовую ось, причём, только в пределах ОДЗ.

3.Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках.

4.Выяснение принадлежности концов полученных промежутков (критических точек) множеству решений неравенства.

5.Выбор промежутков, соответствующих знаку неравенства, и запись ответа.

Прежде всего, решение неравенства данным методом начинается с нахождения ОДЗ, что, как правило, не делается при решении рациональных неравенств, так как их область определения совпадает со всей числовой осью, кроме корней знаменателя, которые как раз и не учитываются. Чтобы не нарушить соответствие пунктов обсуждаемого и описываемого раньше методов, первая операция обобщённого метода интервалов пронумерована цифрой 0. Иногда из соображений удобства при нахождении ОДЗ можно корни знаменателя не учитывать. Тогда они должны находиться в последующем.

В случае, когда область определения неравенства совпадает с числовой осью, за исключением конечного числа точек, являющихся корнями знаменателя, ОДЗ можно и не учитывать. Так поступают, например, при решении рациональных неравенств.

При решении нерациональных неравенств после нахождения корней числителя и знаменателя разлагать левую часть неравенства на множители нельзя. Например, функцию нельзя заменить множителем х – 1, хотя значение х = 1 является корнем уравнения =0.

Если при решении рациональных неравенств на числовую ось наносятся все корни числителя и знаменателя, то при решении нерациональных неравенств эти корни наносятся в пределах ОДЗ, которую удобно выделить с помощью дугообразной кривой. Иногда может случиться, что все корни числителя и знаменателя лежат вне зоны ОДЗ (тогда множество решений неравенства либо совпадает с ОДЗ, либо пусто) или в ОДЗ лежат лишь некоторые корни. Только эти корни и концы ОДЗ будут критическими точками неравенства.

Пункты 3 – 5 обобщённого метода интервалов полностью повторяют соответствующие пункты описанного раньше метода интервалов.

Для определения знаков произвольной непрерывной функции также можно использовать все правила и свойства, используемые для определения знаков рациональной функции. Из этих правил наиболее надёжным является правило отдельной точки. В случае каких – либо сомнений в отношении определяемого знака левой части неравенства, особенно, на начальной стадии освоения метода рекомендуется использовать это правило. При решении многих неравенств показ знаков левой части неравенства с помощью волнообразной кривой, зачастую загромождающей рисунок, неудобно и нецелесообразно.

Особое внимание следует уделить концам промежутков ОДЗ, которые не являются корнями ни числителя, ни знаменателя. Такие точки могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству решений неравенства, что надо выяснять дополнительно, подставив их значения в неравенство. До такого исследования эти точки можно отмечать короткой вертикальной чёрточкой. В то же время для функции точка х = 1 принадлежит её области определения , поэтому при решении неравенств, содержащих эту функцию, принадлежность точки х = 1 множеству решений неравенства надо проверять дополнительно, подставив значение х = 1 в неравенство.


2. Алгоритм решения тригонометрических неравенств

методом интервалов.


Метод интервалов особенно эффективен при решении неравенств, содержащих тригонометрические функции. При решении этим методом чисто тригонометрических неравенств вместо числовой оси удобно использовать числовую окружность, которая корнями соответствующих тригонометрических уравнений разбивается на дуги, играющие ту же роль, что и интервалы на числовой оси. На этих дугах тригонометрическое выражение, соответствующее решаемому неравенству имеет постоянные знаки, для определения которых можно использовать правило отдельной «удобной» точки и свойство кратности корней. Часто для определения самих дуг вовсе не надо находить бесконечное множество корней соответствующих уравнений; достаточно из этих уравнений найти значения основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) и на числовой окружности отметить точки, соответствующие этим значениям.

Использовать числовую окружность непосредственно для решения исходного тригонометрического неравенства методом интервалов можно, если все функции, через которые записано неравенство, имеют наименьший положительный период или , где m – некоторое целое положительное число. Если основной период этих функций больше , тот надо либо использовать числовую ось, либо сначала, сделав замену переменной, свести исходное неравенство к новому неравенству, записанному через функции, имеющие период или , и затем использовать числовую окружность.

Если неравенство содержит как тригонометрические, так и другие функции, то для решения его методом интервалов следует использовать числовую ось.


Общая схема применения метода интервалов:

1) С помощью тригонометрических формул разложить на множители.

2) Найти точки разрыва и нули функции, поставить их на окружность.

3) Взять любую точку К (но не найденную ранее) и выяснить знак произведения. Если произведение положительно, то поставить точку за единичной окружностью на луче, соответствующему углу. Иначе точку поставить внутри окружности.

4) Если точка встречается четное число раз, назовем ее точкой четной кратности, если нечетное число раз – точкой нечетной кратности.

5) Провести дуги следующим образом: начать с точки К, если следующая точка нечетной кратности, то дуга пересекает окружность в этой точке, если же точка четной кратности, то не пересекает.

Дуги за окружностью – положительные промежутки; внутри окружности – отрицательные промежутки.


3.Примеры решения тригонометрических неравенств

методом интервалов.


Пример 1.

Решение.

1) Разложим на множители левую часть неравенства, применив формулу суммы косинусов.



2) Составим совокупность уравнений:



Точки первой серии:

Точки второй серии:

Каждая точка встречается нечетное число раз, то есть все точки нечетной кратности.

3) Выясним знак произведения при х=0:

Отметим все точки на единичной окружности :



Ответ:






Пример 2.






Первая серия: 0;

Вторая серия: 0;

Третья серия:

Четвертая серия:

Точки четной кратности:

При х = Выполним рисунок:





Ответ:

;






Пример 3.










(1):

(2):

(3):













Пример 4.














(1):

(2):

(3):












Пример 5.






; ;























Пример 6.







;


(1): ;; ;

(2): ; ; ;

(3): ; ; ; ;

(4): ;; ;; ;;











Пример 7.








(1): ;

(2): ;

(3): ;;;;;














ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Преимущество метода интервалов по сравнению с другими, использующимися при решении такого же рода задач, следующие:

- простота и быстрота достижения цели;

- наглядность (и возможность контроля или перепроверки);

- экономность в вычислительных средствах и времени;

- широта охвата всей ситуации;

- формирование и развитие навыков обобщенного мышления и анализа, а также связанные с этим умения делать логические выводы.




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconПрограмма по математике
Рациональные неравенства и их системы. Решение рациональных неравенств методом интервалов. Решение систем и совокупностей рациональных...

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconТема №121: Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств Примерное содержание
Решение уравнений вида tg t = m. Арктангенс. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. Решение тригонометрических...

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconТема: Решение простейших тригонометрических неравенств
Познакомить учащихся с определением тригонометрического неравенства, основными методами решения простейших неравенств

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconРеферат по теме: решение тригонометрических неравенств работу
Вступительное слово

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconРешение задач
Решение неравенств, содержащих знак модуля, методом введения новой переменной. 28

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconРешение тригонометрических уравнений и неравенств
Строение и классификация органических соединений. Химические реакции в органической химии

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconЭлективный курс «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Программа элективного курса cоставлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования...

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconПрограмма по математике для вступительных испытаний, проводимых вузом самостоятельно
Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. Тригонометрические функции кратных аргументов. Суммы, разности, произведения...

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconПрограмма по математике для вступительных испытаний проводимых вузом самостоятельно
Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. Тригонометрические функции кратных аргументов. Суммы, разности, произведения...

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов iconЭлективный курс «Решение уравнений и неравенств»
Целью изучения курса «Решение уравнений и неравенств» по алгебре и началам анализа в XI классе является: повторение, обобщение и...

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница