Решение алгебраических и трансцендентных уравнений




НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений
страница9/27
Дата21.05.2013
Размер2.1 Mb.
ТипРешение
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   27

метод Эйлера.


Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х). Для построения первого (а затем и каждого следующего) участка ломаной в этом методе мы вычисляем значение f(Xo,Yо), проводим прямую из данной точки с полученным угловым коэффициентом. Поскольку Y'(Хо)=f(Хо,Yо), то эта прямая будет касательной к интегральной кривой в точке (Хо,Yо). Поэтому мы и заменяем часть графика функции на отрезок касательной к ней. Далее, из новой полученной точки мы делаем следующий такой же шаг и т.д.

Метод Эйлера хорош тем, что он прост и нагляден, но к сожалению , он очень плох в смысле точности приближения и дает лишь приблизительный вид интегральной кривой.

Говоря о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы ограничимся еще более частным случаем постановки задачи, в которой требуется лишь определить значение неизвестной функции Y(х) в одной точке b.
  1. Общая схема численных методов.


1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=Xo12<…n=b или Xi=a+ih

2.Последовательно, при i=0,1,2,…,(n-1) осуществляем переход от точки (Хi,Yi) к точке (Хi+1,Yi+1) по формуле Yi+1=Yi+Уi, где на каждом отрезке величина Уi вычисляется по одному и тому же закону, задающему метод решения уравнений.

Метод Эйлера, который мы рассматривали как графический, легко интерпретировать и как численный метод. Из описания этого метода сразу же видно, что приращение Yi вычисляется как линейное приращение функции. На отрезке длины h формула для приращения функции примет вид Yi=h f(Xi,Yi), откуда и получаем закон перехода в методе Эйлера: Y i+1=Yi+hf(Xi,Yi).

Как уже отмечалось, погрешность этого метода очень велика, она достигает величин порядка h, т.е. метод Эйлера -первого порядка точности. Для улучшения точности вычислений применяют многошаговую систему перехода от точки (Xi,Yi) к следующей.
  1. методы Рунге-Кутта


Например, в одном из усовершенствований метода Эйлера, который также называют методом Рунге-Кутта второго порядка, переход осуществляют в два этапа по формулам:

Zi = Yi +h/2*f(Xi,Yi) Yi+1=Yi+h*f(Xi+h/2,Zi).

При этом получается погрешность порядка h2.

А самый распространенный на практике метод - метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором точность имеет порядок величины h4, а переход к следующей точке осуществляется с помощью четырех вспомогательных величин:

k1= h*f(Xi,Yi)

k2= h*f(Xi+h/2,Yi+k1/2)

k3= h*f(Xi+h/2,Yi+k2/2)

k4= h*f(Xi+h,Yi+k3)

После вычисления этих вспомогательных величин переход от точки (Xi,Yi) к следующей точке осуществляется по формуле Yi+1=Yi+1/6*(k1+2k2+2k3+k4).

Упражнение 4.5. Выяснить геометрический смысл перехода к следующей точке по формулам усовершенствованного метода Эйлера.

Оценка точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков на практике производится с помощью метода двойного счета, сформулированного в предыдущем параграфе.

Упражнение 4.6. Выписать и объяснить формулы оценки точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков.

Поясним происхождение формул в методах Рунге-Кутта. Для получения закона вычисления значения Y(x) в каждой следующей точке поступают приблизительно так: выписывают разложение неизвестной функции в ряд Тейлора в точке Xi, как мы проделывали это выше, затем берут несколько первых членов этого разложения, и преобразуют полученную формулу Тейлора. После подставления Xi вместо переменной X и получают окончательное правило перехода к следующей точке.

Легко убедиться, что при выписывании разложения в ряд Тейлора только до линейного члена и подстановки значения X мы получим формулу метода Эйлера, т.е. и он является частным случаем общих методов Рунге-Кутта.

Пример 4.3. Применим формулы разобранных методов для нахождения значения функции Y(x) в точке 1, если эта функция удовлетворяет уравнению y'=y с начальным условием y(0)=1.

При решении методом Эйлера (n=2) имеем:

Y1=Y0+hf(X0,Y0)=1+0.5f(0,1)=1.5, Y(b)=Y2=Y1+hf(X1,Y1)=1.5+0.5f(0.5,1.5)=2.25.

При решении методом Рунге-Кутта 2-го порядка (n=1) имеем:

Z0=Y0+h/2*f(X0,Y0)=1+0.5f(0,1)=1.5, Y(b)=Y1=Y0+hf(X0+h/2,Z0)=1+f(0.5,1.5)=2.5.

При решении методом Рунге-Кутта 4-го порядка (n=1) имеем:

k1=h*f(X0,Y0)= 1*f(0,1)= 1

k2=h*f(X0+h/2,Y0+k1/2)= 1*f(0.5,1.5)= 1.5

k3=h*f(X0+h/2,Y0+k2/2)=1*f(0.5,1.75)=1.75

k4=h*f(X0+h,Y0+k3)= 1*f(1,2.75)=2.75

Y(b)=Y1=Y0+1/6*(k1+2k2+2k3+k4)=1+1/6*(1+3+3.5+2.75)=65/24

Упражнение 4.7. Найти точный ответ и сравнить погрешности, полученные при решении тремя различными методами.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   27

Похожие:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconВопросы к вступительному экзамену в аспирантуру по специальности
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТема №121: Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств Примерное содержание
Решение уравнений вида tg t = m. Арктангенс. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. Решение тригонометрических...
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений
Матрицы. Линейные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconОбласть применения компьютеров для решения разнообразных задач по обработке информации быстро расширяется. Можно выделить три вида информации и соответственно
Вычислительные задачи, связанные с обработкой числовой информации, например, решение систем линейных алгебраических уравнений
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений icon«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна
Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТема: Решение тригонометрических уравнений (Т. У.)
Методические приёмы: сообщения учащихся, представление нового материала путём поиска решений уравнений, самостоятельная работа по...
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРадиофизический факультет
Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения...
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconПрямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРешение этой системы уравнений подтверждает математическое предвидение A. Beal и связь этого предвидения с элементарным
Предлагаю Вашему вниманию решение этой проблемы как решение системы уравнений A. Beal и P. Fermat
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница