Решение алгебраических и трансцендентных уравнений




НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений
страница4/27
Дата21.05.2013
Размер2.1 Mb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

Интерполяция многочленом.

  • Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.


    Другой вариант интерполирования - искать функцию в виде многочлена степени n:

    (X)=Pn(X)=CnXn+Cn-1Xn-1+..... +C1 X+C0

    Условия совпадения значений интерполирующей функции в точках Xi с величинами Yi примет вид системы: C0+C1X1 +... +CnX1n=Y1

    C0+C1X2 +... +CnX2n=Y2

    ………………………………………….

    C0+C1Xn +... +CnXnn=Yn

    (n+1)-го линейного уравнения с n+1 неизвестным.

    Поскольку определитель этой системы является определителем Вандермонда и все числа Xi различны, то он отличен от нуля и, следовательно, искомый многочлен существует и единственен. В данном случае, так же как и в предыдущем, снимаются основные сложности, связанные с проблемой оптимального выбора среди функций, удовлетворяющих условиям интерполяции в узлах, однако остается вопрос о точности приближения.
    1. Построение вспомогательных многочленов Лагранжа.


    Для того, чтобы записать интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, сначала строят вспомогательные многочлены L0(X), L1(X),..., Ln(X), каждый из которых является многочленом степени n и удовлетворяет условиям:

    , i, j = 0,1,2,..,n.

    У каждого из вспомогательных многочленов, тем самым, мы знаем n корней, например, у L2(X) корнями являются X0, X1, X3 ..., Xn. Kaк известно, многочлен Li(X) по корням можно записать в виде

    Li(X)=Ai(X-X0)...(X-Xi-1)(X-Xi+1)...(X-Xn)= Ai

    Чтобы определить величину Ai, остается еще одно условие Li(Xi)=1, откуда:


    1. Построение многочлена Лагранжа.


    Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинации:

    В самом деле, степень Рn(х) не выше n, a подставляя в эту формулу значения Х=Хj, получаем: Рn (Xj)=Уj при j=0,1,2,...,n.

    Поскольку ранее мы установили, что многочлен степени n, удовлетворяющий условиям интерполяции в узлах единственен, то построенный многочлен Рn(X) и является искомым. Окончательно, он запишется в виде:



    Упражнения: Пользуясь формулой (2.1) выписать интерполяционный многочлен в форме Ньютона для функции, заданной таблицей:

    (2.2)X123 (2.3)X-1012y236y2228

    Оценка точности формулы (2.1) проводится при предположении, что исходная функция f(x) является (n+1) раз дифференцируемой и мы знаем максимум модуля ее (n+1)-ой производной Mn+1. Как уже отмечалось выше, без дополнительных ограничений на гладкость функции никаких оценок произвести нельзя.
    1. Оценка погрешности.


    Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке Х[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

    Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):



    и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-Pn(x)-b w(x) (2.2)

    При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

    F(X)=0, т.е. f(X)-Pn(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

    Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

    Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

    Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

    Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F(n+1)(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

    Пусть F(n+1)(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

    F(n+1)(x)=f(n+1)(x)-0-b(n+1)!

    откуда легко видеть, что:

    f(n+1)(d)=b(n+1)!, или b=f(n+1) (d)/(n+1)!

    Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

    R(x)=f(n+1)(d)w(x)/(n+1)!,

    откуда уже легко произвести нужную оценку

    (2.4)

    справедливую для всех точек отрезка [a,b].

    Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:

    2.4. Упражнения (2.2) и предположения M3 < 10 на [1,3]

    2.5. Упражнения (2.3) и предположения M4 < 16 на [-1,2]

    Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.

    Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).

    Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.
  • 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

    Похожие:

    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconВопросы к вступительному экзамену в аспирантуру по специальности
    Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
    Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТема №121: Методика обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств Примерное содержание
    Решение уравнений вида tg t = m. Арктангенс. Методы решения тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. Решение тригонометрических...
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений
    Матрицы. Линейные операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconОбласть применения компьютеров для решения разнообразных задач по обработке информации быстро расширяется. Можно выделить три вида информации и соответственно
    Вычислительные задачи, связанные с обработкой числовой информации, например, решение систем линейных алгебраических уравнений
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений icon«Нестандартные методы решения уравнений» Заяц Светлана Александровна
    Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconТема: Решение тригонометрических уравнений (Т. У.)
    Методические приёмы: сообщения учащихся, представление нового материала путём поиска решений уравнений, самостоятельная работа по...
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРадиофизический факультет
    Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения...
    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconПрямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений iconРешение этой системы уравнений подтверждает математическое предвидение A. Beal и связь этого предвидения с элементарным
    Предлагаю Вашему вниманию решение этой проблемы как решение системы уравнений A. Beal и P. Fermat
    Разместите кнопку на своём сайте:
    Библиотека


    База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
    обратиться к администрации
    Библиотека
    Главная страница