Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеУчебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница1/6
Дата19.05.2013
Размер1.48 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5   6





Т.В. Панова, Г.И. Геринг


ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА


Учебное пособие


ОМСК

2008


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ





Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени Ф.М. Достоевского»



ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА


Учебное пособие


___________________________________________________________

Издание ОмГУ Омск 2008


УДК: 531.91(075)

Панова Т.В., Геринг Г.И. Физика конденсированного состояния вещества: Учебное пособие.- Омск: Омск.гос.ун-т, 2008. -101 с.


Учебное пособие представляет собой избранные задачи по основным разделам физики конденсированного состояния вещества: кристаллография и физика кристаллической решетки, упругие, тепловые, электрические и оптические свойства металлов, полупроводников и диэлектриков. Всего в пособии 9 разделов, каждый их которых состоит из краткой теоретической части, задач, приведенных в качестве примеров, и задач, предложенных для самостоятельного решения. Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов высших учебных заведений, специализирующихся в области физики конденсированного состояния вещества.


?Т.В. Панова, Г.И. Геринг, 2008

? Омский госуниверситет им. Ф.М. Достоевского, 2008


ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2. РАЗДЕЛ 1. Основные типы связей в твердых телах. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3. РАЗДЕЛ 2. Внутренняя структура твердых тел. Обратная решетка. . . . .14

4. РАЗДЕЛ 3. Дифракция в кристаллах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

5. РАЗДЕЛ 4. Упругие свойства кристаллов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. РАЗДЕЛ 5. Динамика решетки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

7. РАЗДЕЛ 6. Тепловые свойства твердых тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..52

8. РАЗДЕЛ 7. Электроны в металлах. Свободный электронный газ. . . . . . . 63

9. РАЗДЕЛ 8. Зонная теория твердых тел. Электрические свойства твердых тел. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …. . . . . . . . .74

10. РАЗДЕЛ 9. Дефекты кристаллической решетки. Диффузия в твердых телах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

11. Список рекомендуемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..100

12. Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, проводимых в течение многих лет для студентов-физиков Омского государственного университета. Оно содержит разбросанные в различных учебниках и пособиях задачи с кратким изложением теории, сопутствующей каждому разделу. Часть задач дана с подробными решениями, что должно способствовать развитию навыков решения задач в этой области физики. В решениях использовалась преимущественно Международная система единиц СИ, хотя, задачи, вынесенные для самостоятельного решения, подразумевают использование и системы СГС. В пособии представлены девять разделов. Первые три раздела посвящены структурной кристаллографии, типам связи и дифракционным методам исследования твердых тел. В последующих разделах представлены задачи на колебания атомов кристаллической решетки, упругие, тепловые и электрические свойства твердых тел. Заключительный раздел посвящен атомной диффузии и дефектам кристаллического строения. В приложении приведены универсальные физические постоянные, необходимые для решения задач.


РАЗДЕЛ 1. Основные типы связей в твердых телах

Возможность существования твердого состояния вещества обусловлена возникновением сил взаимодействия между структурными частицами при сближении их на достаточно малые расстояния. Такими частицами могут быть атомы, ионы или молекулы. Для возникновения устойчивой структуры твердого тела необходимо, чтобы между частицами действовали двоякого рода силы: силы притяжения, препятствующие удалению частиц друг от друга, и силы отталкивания, не позволяющие частицам слиться друг с другом. Эти силы имеют электростатическую природу: притяжение между противоположно заряженными частицами (электронами и ядрами) и отталкивание между одноименно заряженными частицами (электронами и электронами, ядрами и ядрами). Характер сил межатомного взаимодействия в первую очередь определяется строением электронных оболочек взаимодействующих атомов.

Наиболее общим видом связи, возникающим между любыми атомами и молекулами, являются силы Ван-дер-Ваальса. В общем случае ван-дер-ваальсова связь включает в себя дисперсионное, ориентационное и индукционное взаимодействие. Силы связи, возникающие вследствие согласованного движения электронов в соседних атомах, называются дисперсионными. Если молекулы обладают постоянным дипольным моментом, т.е. являются полярными, то между ними возникает электростатическое взаимодействие, стремящееся расположить молекулы в строгом порядке. Этот вид взаимодействия называется ориентационным. При таком расположении энергия системы уменьшается. Энергия системы, определяемая ориентацией молекул, сильно зависит от температуры. У полярных молекул, обладающих высокой поляризуемостью, может возникать наведенный (индуцированный) момент под действием поля постоянных диполей соседних мелекул. Такое взаимодействие называется индукционным, или деформационным. В общем случае при сближении двух молекул могут возникать все три вида связи, и энергия взаимодействия складывается из энергий дисперсионного, ориентационного и индукционного взаимодействий.

Ковалентная связь (валентная или гомеополярная) образуется за счет взаимодействия между двумя электронами в условиях, когда эти электроны обобществлены парой соседних атомов.

Ионная (полярная) связь образуется в результате кулоновского взаимодействия между положительно и отрицательно заряженными ионами в ионных кристаллах. Типичными представителями ионных кристаллов являются галогениды щелочных металлов, например, со структурой типа NaCl и CsCl.

Металлическая связь возникает при взаимодействии атомов электроположительных элементов, внешние валентные электроны которых связаны с ядром относительно слабо. Связь в решетке металла возникает вследствие взаимодействия положительных ионов с электронным газом.

Водородная связь возникает в том случае, когда атом водорода связан с очень электроотрицательным атомом, например атомом кислорода, фтора, хлора и т.п. Такой атом притягивает электроны связи и приобретает отрицательный заряд; атом водорода, от которого электрон связи оттянут, приобретает положительный заряд. Водородная связь обусловлена электростатическим притяжением этих зарядов.

Характер межатомных связей иногда кладут в основу классификации твердых тел. Согласно этой классификации все твердые тела разделяют на четыре типа: металлические, ковалентные, ионные и молекулярные кристаллы. Кристаллы неорганических веществ с водородной связью (которая по своему характеру является, в основном, ионной) часто выделяют в отдельный тип.

Энергия связи (или энергия сцепления) кристалла это энергия, которая необходима для разделения тела на составные бесконечно удаленные друг относительно друга части. При расчете энергии сцепления молекулярных и ионных кристаллов в силу того, что конфигурация электронов в этих кристаллах не сильно отличается от их конфигурации в изолированных атомах или ионах, ограничиваются вычислением классической потенциальной энергии системы сферически симметричных частиц, образующих кристаллическую структуру. Считается, что полная потенциальная энергия системы зависит лишь от расстояния между взаимодействующими частицами, которые локализованы в узлах решетки и кинетическая энергия которых пренебрежимо мала. Полная потенциальная энергия решетки кристалла, содержащего N – частиц,

U=, (1.1)

где Ui - энергия взаимодействия i-ой частицы со всеми другими частицами решетки, U(rij) - потенциальная энергия взаимодействия между частицами в кристалле, расстояние между которыми равно rij. Полная потенциальная энергия взаимодействия атомов представляется ввиде суммы энергии сил притяжения (отрицательный член) и энергии сил отталкивания (положительный)

U(r) = U (r)пр +U(r)от . (1.2)

При некотором значении r = r0 энергия U(r) минимальна, что соответствует силе

F = - . (1.3)

В этом случае образуется молекула с наиболее стабильной конфигурацией, при которой сила притяжения уравновешена силой отталкивания Fпр = Fот .

Потенциал сил притяжения задается в виде Uпр = -, где α - положительная константа, m - положительный показатель степени. При m = 1 потенциал соответствует обычному кулоновскому взаимодействию между противоположно заряженными ионами, при m = 6 - потенциалу притяжения при взаимодействии между атомами инертных газов. Потенциал сил отталкивания Uот = , где b и n >0 - постоянные. Полная потенциальная энергия взаимодействия двух атомов

U = - . (1.4)

При вычислении энергии сцепления показатель степени n в потенциале сил отталкивания обычно определяют из сжимаемости кристалла æ:

æ = - , (1.5)

где V- объем кристалла, P- давление.

Объемный модуль упругости является мерой жесткости кристалла или мерой энергии, требующейся для создания данной деформации

B = . (1.6)

Для описания взаимодействия электрически нейтральных и неполярных молекул используют потенциал Леннарда-Джонса

U = , (1.7)

где ? и ? - константы, связанные с а и b,

? = ; ? = . (1.8)

Полная энергия кристаллической решетки ионного кристалла, состоящего из 2N ионов, записывается следующим образом:

. (1.9)

Величина () есть энергия Маделунга. ? - Постоянная Маделунга, учитывающая энергию взаимодействия данной молекулы с ее соседями в кристалле.


ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Пусть энергия частицы в поле другой частицы зависит от расстояния между центрами этих частиц следующим образом:

U(r) = -, (1.10)

где ? и ? - постоянные. Показать, что:

  1. Эти две частицы образуют стабильное соединение при r = r0 = (8?/?)1/7;

  2. В случае образования стабильной конфигурации энергия притяжения в 8 раз больше энергии отталкивания;

  3. Полная потенциальная энергия двух частиц при стабильной конфигурации

Uст.= - = -; (1.11)

  1. Если разделять частицы, то молекула разорвется, как только будет достигнуто расстояние R,

где R = . (1.12)


Решение

  1. В состоянии равновесия

; (1.13) или , (1.14)

откуда r0 = . (1.15)

  1. Энергия притяжения

Uпр.= - ; (1.16)

энергия отталкивания

Uот = . (1.17)

Сравнивая Uпр и Uот, получим |Uпр| = 8 Uот . (1.18)

  1. Полная энергия

U = Uпр + Uот = -? . (1.19)

  1. Молекула будет разорвана при максимальной силе Fmax. Так как F = -, то из уравнения находим межатомное расстояние, соответствующее максимальной силе:

(1.20)

. (1.21)

Из выражения (1.21) rmax = . (1.22)

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    1. Известно, что в кристалле, в котором связи обусловлены силами Ван-дер-Ваальса, равновесное межатомное расстояние r0 = 1,50 Å, а энергия на 10% меньше, чем в случае, когда учитываются только силы притяжения. Чему равна характерная длина ?, входящая в выражение: U = -. ОТВЕТ: ? ? 0,25 Å.

1.2. Энергия взаимодействия между двумя атомами в молекуле зависит от расстояния следующим образом:

U(r) = -.

Межатомное расстояние в положении равновесия r0 = 3Å, энергия диссоциации (расщепления нейтральной молекулы на противоположно заряженные ионы) молекулы Uд= -4 эВ. Вычислить значения коэффициентов ? и ?, если n =2, m=10. Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при изменении межатомного расстояния r0 на 10 %.

ОТВЕТ: ? = 7,16?10-38 Дж?м2; ? = 9,44?10-115 Дж?м10; F = 2,13?10-9 Н.

    1. Вычислить значение энергии кристаллической решетки NaCl, если постоянная n, характеризующая потенциал сил отталкивания, равна 9,4 , а постоянная Маделунга 1,75. Постоянная решетки NaCl равна 2,81 Å.

ОТВЕТ: U = 8,6? 10-5 Дж/моль.

1.4. Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на молекулу равно 6,62 эВ. Вычислить n, считая r0 = 3.1 Å и ? = 1,75.

ОТВЕТ: n ? 5,37.

1.5. Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической кристаллической решетки

В = ,

где r0 - расстояние между атомами в состоянии равновесия; V- объем кристалла.

ОТВЕТ: В = .

    1. Вычислить энергию отталкивания для КСl, если энергия диссоциации равна (-4,40) эВ. Принять r0 = 2,79 Å, энергию ионизации атома калия равной 4,34 эВ, энергию сродства атома хлора к электрону – (-3,82 эВ).

ОТВЕТ: Uот = 0,24 эВ.

    1. Найти сжимаемость кристалла NaCl при 0К, считая, что показатель экспоненты, определяющий величину сил отталкивания, равен m = 9,4. Постоянная Маделунга для NaCl равна 1,75.

ОТВЕТ: æ = 3,3 ?10-11 м2/Н.

    1. Рассмотреть к каким возможным последствиям для постоянной решетки, сжимаемости и энергии решетки, приведет удвоение заряда хлористого натрия, если считать, что потенциал отталкивания останется постоянным.

ОТВЕТ: Энергия решетки при увеличении заряда вдвое возрастет более чем в 4 раза, а сжимаемость уменьшится более чем в 4 раза.

    1. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной решетки, состоящей из последовательно чередующихся положительных и отрицательных ионов.

ОТВЕТ: ? = 2ln2 = 1,386.

1.10. Используя метод, предложенный Эвьеном, вычислить значение постоянной Маделунга для кристалла типа NaCl.

ОТВЕТ: ? = 1,75.

1.11. Получить выражение для модуля всесороннего сжатия кристалла с молярным объемом V0 и общей энергией взаимодействия между атомами U0, считая, что энергия взаимодействия между атомами определяется выражением U(r) = - .

ОТВЕТ: ?В?= ?U0??.

РАЗДЕЛ 2. Внутренняя структура твердых тел. Обратная решетка

При сближении частиц на относительно больших расстояниях появляются силы притяжения, быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния r между частицами, а на малых расстояниях возникают силы отталкивания, которые с уменьшением расстояния r увеличиваются значительно быстрее, чем силы притяжения. На расстоянии r = r0 силы отталкивания уравновешивают силы притяжения, и результирующая энергия взаимодействия достигает минимального значения (рис.1).



Рис. 1.

Поэтому состояние частиц, сближенных на расстояние r0, является состоянием устойчивого равновесия, вследствие чего частицы выстраиваются в строгом порядке на расстоянии r0 друг от друга, образуя тело с правильной внутренней структурой - кристалл. Такая структура будет сохраняться до тех пор, пока энергия связи остается выше по абсолютному значению энергии теплового движения частиц. Частицы кристалла не могут свободно покидать свои положения равновесия, так как при удалении от этих положений энергия частиц увеличивается и появляются силы, стремящиеся вернуть их в положение равновесия. При этом частицы совершают беспорядочное колебание около положений равновесия. Кристаллы - это вещества, в которых составляющие их частицы (атомы, молекулы) расположены строго периодически, образуя геометрически закономерную кристаллическую структуру. Каждое кристаллическое вещество отличается от других кристаллических веществ по его атомной структуре. Вследствие закономерности и симметрии структуры кристаллы однородны и анизотропны. Кристалл называется однородным, если для любой точки, взятой внутри него, найдется точка, совершенно идентичная по свойствам первой и отстоящая от нее на некотором конечном расстоянии. Анизотропность - это зависимость свойств кристалла от направлений в кристалле. Идентичные точки (узлы), связанные с произвольно выбранной точкой тремя некомпланарными векторами переноса (трансляциями), образуют трехмерную периодическую решетку, охватывающую все пространство кристалла. Положение любой частицы в такой решетке определяется вектором . Векторы называются наименьшими векторами трансляции, а численные их величины – периодами трансляции.

Решетка, построенная путем параллельного переноса (трансляции) какого-либо узла по трем направлениям, называется трансляционной решеткой или решеткой Бравэ. Наименьший параллелепипед, построенный на векторах , называют элементарной ячейкой кристалла. Все элементарные ячейки, составляющие решетку, имеют одинаковые форму и объем. Элементарные ячейки, содержащие частицы только в вершинах, называют простыми, или примитивными. На каждую такую ячейку приходится одна частица. Элементарные ячейки, содержащие частицы не только в вершинах, но и в других точках, называют сложными. Базисом ячейки называют совокупность координат узлов, приходящихся на элементарную ячейку. Координационным числом решетки называется число ближайших соседей, окружающих данный атом.

Наиболее распространенные сложные ячейки: объемноцентрированные (ОЦ), базоцентрированные (БЦ) и гранецентрированные (ГЦ) (рис. 2).

Решетка, при построении которой можно транслировать не один узел, а несколько узлов (базис) называется решеткой с базисом.

ОЦ БЦ ГЦ

Рис. 2.

Некоторым твердым телам свойственна не одна, а две и более кристаллические структуры, устойчивые при различных температурах и давлениях. Такие структуры называют полиморфными формами или модификациями вещества, а переход от одной модификации к другой - полиморфными превращениями. Полиморфные модификации принято обозначать греческими буквами: модификацию, устойчивую при нормальной и более низкой температуре, обозначают буквой - ?; модификации, устойчивые при более высоких температурах, обозначают соответственно буквами - ?, ?, ? и т.д.

Узлы, направления и плоскости в решетке обозначают так называемыми индексами Миллера.

Положение любого узла решетки относительно выбранного начала координат определяется заданием трех его координат x, y, z:

x = ma; y = nb; z =pc, (2.1)

где a, b, c- параметры решетки; m, n, p - целые числа. Числа m, n, p - называют индексами узла и записывают так: [[mnp]]. Для отрицательного индекса знак минус ставится над индексом.

Для описания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат и любой узел, находящийся в этом ряду (направлении, ребре). Индексы узла являются одновременно и индексами направления. Индексы направления обозначают так: [mnp]. Индексы направления представляют собой три наименьших целых числа, характеризующих положение ближайшего узла, лежащего в данном направлении. Если ряд (или ребро) не проходит через начало координат, то необходимо мысленно перенести его в начало координат параллельно самому себе (так как все параллельные направления в кристалле равнозначны).

Положение плоскости определяется заданием трех отрезков А, В, С, которые она отсекает на осях решетки.

Чтобы найти индексы Миллера любой кристаллографической плоскости надо:

  1. выбрать начало координат, но не в данной плоскости;

  2. выразить отрезки А, В, С, отсекаемые плоскостью на осях координат, через осевые отрезки а, b, с;

  3. найти величины обратные этим отрезкам: 1/А, 1/В, 1/С;

  4. полученные дроби привести к общему знаменателю D.

  5. полученные три числа h=D/A; k=D/B; l=D/C заключить в круглые скобки (hkl). (hkl) - являются индексами плоскости (грани).

Чтобы построить плоскость (hkl) нужно нанести на осях координат отрезки a/h, b/k, c/l , через полученные таким образом точки будет проходить плоскость семейства {hkl}, ближайщая к началу координат.

Индицирование кристаллов гексагональной и тригональной сингоний. В этом случае для обозначения плоскостей пользуются четырехосной системой координат: три оси (а1, а2, а3), расположенные под углом 1200 друг по отношению к другу, лежат в основании шестигранной призмы (в плоскости базиса), четвертая ось (с) перпендикулярна плоскости базиса (рис.3). Каждая плоскость обозначается четырьмя индексами: h, k, i, l. Дополнительный индекс i ставится на 3-м месте и вычисляется через индексы h и k : i = -(h+k).






Рис. 3.

Определение символов плоскостей (граней) по методу косинусов. Положение любой плоскости кристалла (hkl) вполне определяется углами, которые составляют нормаль к этой плоскости с осями координат. Для кубического кристалла:

h:k:l = cos?? cos?: cos?. (2.2)

Связь между символами плоскостей и направлений (граней и ребер).

Зная символы 2-х плоскостей можно найти символы ребра (направления), по которому они пересекаются и наоборот. Символы плоскости (hkl) и направления [mnp] связаны между собой: h m+k n+l p = 0. Найдем символы ребра [mnp] по которому пересекаются две грани (h1k1l1) и (h2k2l2). Для этого необходимо решить систему уравнений:

h1 m + k1n + l1 p = 0

h2 m + k2 n + l2 h = 0 (2.3)

Решением системы уравнений являются детерминанты:

, , (2.4)

а отношение det-ов дает символ грани:

(2.5)


Аналогично можно найти символы грани по символам двух, лежащих на ней ребер:


(2.6)


ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА

Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:

; ; . (2.7)

- векторы обратной решетки; - векторы прямой решетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]-1.

Так как , то скалярное произведение:

, (2.8)

. (2.9)

При построении обратной решетки векторы перепендикулярны соответственно , , и, обратно, векторы перпендикулярны парам векторов , , . Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:

; ; ; (2.10)

где - объем элементарной ячейки обратной решетки: .

Свойства обратной решетки:

  1. обратная и прямая решетки взаимно сопряжены.

  2. решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка.

  3. каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl)прямой решетки.

  4. обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.

Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые описываются векторами обратной решетки, образующих следующее семейство:

, (2.11)

где h, k и l – целые числа.

Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка, т.е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.11), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства. Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца в обратной решетке. При построении ячейки Вигнера-Зейтца произвольно выбранный узел обратной решетки соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами; затем проводят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину. В результате получают замкнутую область пространства с центром в выбранном узле, все точки которой лежат ближе у нему, чем к любому другому узлу решетки (рис.4). Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом. Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.




Рис. 4. Ячейка Вигнера-Зейтца: а - двухмерный случай; б - для объемно-центрированной кубической решетки; в – для гранецентрированной кубической решетки.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемноцентрированной кубической решетки?

РЕШЕНИЕ.

В элементарной ОЦК ячейке имеются узлы кристаллической решетки двух типов: узлы, находящиеся в вершинах куба, и узел, находящийся на пересечении двух пространственных диагоналей куба. Каждый узел в вершинах принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, на данную элементарную ячейку приходится 1/8 узла. Узел, находящийся на пересечении диагоналей, целиком находится в ячейке. Так как вершин восемь, то на одну элементарную ячейку в ОЦК решетке приходится 2 атома.

ОТВЕТ: 2 атома.

Пример 2. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9; 10; 30, если параметры решетки а =3, в=5 и с=6.

РЕШЕНИЕ.

Из кристаллографии следует, что:

h : k : l = , (2.12)

где h, k, l - индексы Миллера. Тогда:

h : k : l = .

Таким образом, искомые индексы плоскости (10 15 6).

ОТВЕТ: Индексы плоскости (10 15 6).

Пример 3. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора из начала координат в точку hkl обратной решетки.

РЕШЕНИЕ.

Если через обозначить единичный вектор нормали к плоскости (hkl), то межплоскостное расстояние:

. (2.13).

Но: . Тогда .

Поскольку: , то .

Таким образом : .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.1. Определить плотность кристалла стронция, если известно, что кристаллическая решетка гранецентрированной кубической сингонии, а период решетки равен 0,43 нм.

ОТВЕТ: ?=2,6?103 кг/м3.

2.2. Плотность кристалла NaCl равна ?=2,18?103 кг/м3. Атомный вес натрия равен 23, а хлора - 35,46. Определить постоянную решетки.

ОТВЕТ: а=2,81 Å.

2.3. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гексагональной плотноупакованной решетки?

ОТВЕТ: 6 атомов.

2.4. Показать, что с/а для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно: с/а =(8/3)1/2= 1,633.

ОТВЕТ: с/а=1,633.

2.5. Определить объемы элементарной ячейки через радиусы равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для: 1) объемноцентрированной; 2) гранецентрированной; 3) гексагональной плотноупакованной решеток.

ОТВЕТ: ; ; .

2.6. Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r . Ребро элементарной ячейки а=2 r (атомы касаются друг друга). Показать, что часть объема занятая атомами при таком расположении, равна ?/6 = 0,523.

ОТВЕТ: Vат. = 0,523.

2.7. Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна .

ОТВЕТ: Vат. = 0,68.

2.8. Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки постороены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна: .

ОТВЕТ: Vат.= 0,74.

2.9. Два элемента а и b образуют кристалл аb, у которого решетка типа NaCl. Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани куба, не могут касаться друг друга, если больше чем 2,44.

ОТВЕТ: =2,44.

2.10. Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами ra и rb. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если или больше чем 1,37.

ОТВЕТ: = 0,73; =1,37.

2.11. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами [[111]], [[]], [[]]. Найти также отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

ОТВЕТ: (); отрезки на осях: 4а; 2b; 1c.

2.12. Даны грани (320) и (110). Найти символы ребра их пересечения.

ОТВЕТ: [001].

2.13. Даны два ребра [] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие Архангельск Поморский университет
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Приемы программирования в среде visual basic for application: учебное пособие / Ф. И. Воробьева, Е. С. Воробьев. – Казань: Изд-во...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие Федеральное агентство по образованию РФ государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Российской федерации по образованию в области дизайна и изобразительных искусств в качестве учебного пособия для студентов высших...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие Федеральное агентство по образованию РФ государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Российской федерации по образованию в области дизайна и изобразительных искусств в качестве учебного пособия для студентов высших...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Интеллектуальная автоматика в курсовых и дипломных проектах: учебное пособие (Том 2)/ В. П. Ившин, М. Ю. Перухин, И. А. Дюдина, А....
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Биохимия белков и ферментов : учеб метод пособие / С. Е. Синютина, С. В. Романцова; Федеральное агентство по образованию, гоувпо...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие Омск • 2008 Федеральное агентство по образованию
Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебное пособие москва 2006 федеральное агентство по образованию государственно образовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)»
А. С., Мурашова В. Г., Семенова Т. Н., Смирнов В. В., Тихонова С. В. Социология: Учебное пособие / Государственное образовательное...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconУчебно-методическое пособие Казань 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Полевая археологическая практика Казанского государственного университета: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся...
Учебное пособие омск 2008 федеральное агентство по образованию государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница