Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия




Скачать 184.78 Kb.
НазваниеМинистерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия
Дата03.09.2012
Размер184.78 Kb.
ТипРеферат


Министерство Образования Чувашской Республики

Ядринская национальная гимназия











Выполнили работу

ученицы 11-б класса

Горбунова Мария,

Максимова Наталия.

Руководитель:

Казанбаева З.З.


Ядрин-2004
Содержание:




  1. Введение




  1. Метод оценки




  1. Метод применения свойств квадратичной функции




  1. Метод применения свойств непрерывной функции




  1. Метод производной

  • на отрезке

  • на интервале




  1. Метод непосредственных вычислений




  1. Метод приведения к уравнению с параметром




  1. Графический метод




  1. Задачи на оптимизацию




  1. Тест




  1. Ответы




  1. Вывод




  1. Использованная литература





Введение.

Этот реферат посвящен одному из наиболее богатых идейно разделов школьной математики – задачам на отыскание наибольших и наименьших значений величин. Великий русский математик П.Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными. Задачи такого рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского optimum – наилучший). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с величиной, зависящей от другой величины, и надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наибольшее ил наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение.


Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции можно разделить на несколько групп, которые мы рассматриваем в нашем реферате.


Способ 1. Метод оценки.

Нам часто приходится сталкиваться с такими задачами, которые решаются с помощью применения свойств ограниченности функции. К таким примерам можно отнести задачи, содержащие

Получив допустимые значения аргумента, оценить с помощью свойств неравенств соответствующие функции.

Пример 1:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение:

Функция изменяется от –1 до 1. Значит, - от –3 до 3, из этого следует, что функция изменяется от –2 до 4. Получаем, что наименьшее значение функции равно –2, а наибольшее 4.

Ответ: .

Рассмотрим более сложный пример, который часто встречается в ЕГЭ в части «В».

Пример 2:

Найдите наименьшее целое значение функции .

Решение:

Подкоренное выражение упростим, то получим, что



Получаем функцию , из этого следует, что .

Ответ: наименьшее целое значение функции равно 3.

Пример 3:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение:

Обратно тригонометрическая функция изменяется в пределах.



Получаем, что

Ответ: .

Пример 4:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции .

Решение:

Выполним следующие преобразования заданного выражения.

. Так как

, то числа можно считать, соответственно косинусом и синусом некоторого вспомогательного угла . Тогда получим .

Теперь уже ясно, что, поскольку , наибольшим значением функции является число , и наименьшим .

Ответ: .


Способ 2. Метод применения свойств квадратичной функции .

Нам известно, что функция изменяется в пределах , если a>0, и если a<0, то - . Это помогает при решении задач, сводящихся к квадратичной функции.







Пример:

Найдите наименьшее значение функции .

Решение:

Так как –5<0, то наименьшее значение достигается в вершине параболы, то есть у=.

Ответ: y=81/20.


Способ 3. Метод применения свойств непрерывной функции.

Говорят, что функция y=f(x) возрастает на промежутке I, если для любых х1 и х2, принадлежащих I, из неравенства х12 следует неравенство f(x1)2). И функция y=f(x) убывает на промежутке I, если для любых х1 и х2, принадлежащих I, из неравенства х12 следует неравенство f(x1)>f(x2). Функции, возрастающие (убывающие) на промежутке I, называют монотонными на этом промежутке.

Функция f(x) убывает на промежутке I там, где f(x)’>0 и возрастает, если f(x)’<0.

Если знак производной меняется с + на -, то эта точка перехода является точкой максимума. И наоборот, если знак производной меняется с – на +, то эта точка перехода является точкой минимума.

Пример 1:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на [-1;1].

Решение:

Функция на отрезе [-1;1] возрастает, принимая значения от 3 (в точке x=-1) до 9 (в точке x=1). Функция же убывает, причем, если t меняется от 3 до 9 (как у нас), то принимает значения от –1 до –2.

Что касается функции , то она тоже убывает на отрезке [-1;1], принимая на концах отрезка значения 1 и 0.

Значит, на отрезке [-1;1] функция убывает, поэтому свое наибольшее значение принимает в левом конце отрезка при x=-1, а наименьшее – в правом конце отреза при x=1.

Ответ: .

Пример 2:

Найдите наибольшее значение функции при .

Решение:

Функция монотонно возрастает, значит, наибольшее значение функция принимает при x=3.

Ответ: .

Пример 3:

Найдите наименьшее значение функции , где x>0.

Решение:

Воспользуемся известным неравенством Коши (, где и равенство достигается при a=b), получим . Значит, .

Ответ: .


Способ 4. Метод производной.

  • На промежутке.


Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на I называется такое число M (m), что существует x0 I такое, что f(x0)=M (f(x0)=m), Mf(x) (mf(x)) для всех х на I.







Наибольшее и наименьшее значение на I функция может принимать либо на концах промежутка, либо в критических точках.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на [a;b] значений функции, непрерывной на [a;b].

  1. Найдите f(a) и f(b) – значение функции на концах промежутка.

  2. Найдите критические точки функции внутри промежутка (a;b).

  3. Найдите значение функции в критических точках.

  4. Из всех найденных значений выберите наибольшее и наименьшее числа; они и будут наибольшим и наименьшим значением функции на [a;b].

Пример:

при х [-1;3]

Решение:

Найдём значение функции на концах промежутка.



Найдём критические точки функции внутри промежутка (-1;3).



Найдём значение функции в критических точках.



Выберем наибольшее и наименьшее.



Если непрерывная функция имеет на промежутке I единственную точку экстремума и этот экстремум максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.

Пример:



Решение:

Найдём значение функции на концах промежутка.



Найдём критические точки функции внутри промежутка.





При к=0 х удовлетворяет условию.

Найдём значение функции в критической точке.



Выберем наибольшее и наименьшее.



В условиях многих задач явно не формируется, что требуется найти наибольшее и наименьшее значения. К таким задачам, например, относятся задачи, связанные с нахождением множества значений функций.

Пример:

Найти образ данного промежутка [-1;3] при отображении, заданной функцией .

Решение:

Чтобы найти образ данного промежутка, нужно найти множество значений функции f(x) для , которое в силу непрерывности исходной функции представляет собой промежуток . Таким образом, исходная задача сводится к задаче на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на промежутке [-1;3].

Критические точки находятся из уравнения .



Следовательно, образом промежутка [-1;3] при отображении, заданном исходной функцией, будет промежуток [-8;72].


  • На интервале.


Нужно выяснить, как ведет себя функция y=f(x) при приближении аргумента x к концам промежутка. Иными словами нужно вычислить эти значения заменят нам значения функции на концах промежутка и, в сравнении со значениями функции в критических точках, лежащих внутри рассматриваемого промежутка, позволят сделать правильные выводы о наличии у функции наибольшего или наименьшего значений на рассматриваемом промежутке.




Пример:

Найти наименьшее и наибольшее (если они есть) значения функции на интервале (0;8).

Решение:

  1. Имеем

  2. существует при любых x, найдем точки, в которых f(x)=0. Имеем , откуда . Обе точки принадлежат заданному интервалу.



  3. . Рекомендуем использовать следующую запись:


x





1

5

y





7

-25


Сравнивая значения в критических точках (7 и –25) с пределами функции на концах промежутка (0 и 56), делаем вывод:.


Способ 5. Метод непосредственных вычислений.

В случае, когда область определения содержит лишь несколько значений аргумента или может быть записана с помощью конечного числа формул (например, для тригонометрических функций), множество значений функции находят путём непосредственного вычисления всех возможных значений. Затем делают вывод.

Пример 1:

Найдите набольшее и наименьшее значение функции .

Решение:

Запишем данную функцию в виде и найдем D(y):. Значит, функция определена при одном значении x и y(3)=7. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения равны 7

Ответ: .

Пример 2:

Найдите набольшее и наименьшее значение функции .

Решение:

Найдем : .

Область определения функции содержит лишь числа вида . Вычислим значения функции при . Учитывая, что , имеем



По формуле половинного аргумента . Тогда

Для чисел вида подвижный радиус может занимать одно из шести положений. Но в этих положениях cosa принимает лишь значения 1, 1/2, -1/2, -1. Тогда множество значений состоит из чисел 0; 0,25; 0,75; 1. Отсюда делаем вывод, что наименьшее значение равно 0,25; а наибольшее – 1.

Ответ: .


Способ 6. Метод приведения к уравнению относительно x с параметром y.

Возможна следующая схема применения этого метода:

  1. Рассматриваем формулу y=f(x), задающую функцию, как уравнение относительно x с параметром y.

  2. Устанавливаем, при каких значениях y это уравнение имеет хотя бы один корень. Полученное множество значений y приведет к нахождению экстремумов.

Пример 1:

Найдите экстремумы функции .

Решение:

D(y)=R. Рассмотрим равенство как уравнение относительно х с параметром у. Так как , то данное уравнение равносильно уравнению , или

  1. Если y=1, то уравнение имеет корень.

  2. Если у1, то квадратное уравнение имеет корни и только тогда, когда его дискриминант D не меньше нуля, то есть, когда . Итак, следует рассмотреть такие значения у, которые удовлетворяют системе: .

В ответе получаем, что наименьшее значение равно 0, а наибольшее – 4/3.

Ответ: 0, 4/3.


Способ 7.Графический метод.

Если функция у=f(x) не является непрерывной на промежутке (а;b), то для отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на этом промежутке часто поступают так: строят график функции и делают все необходимые выводы по графику. Впрочем, этот метод вполне реализуем и для непрерывных функций, но поскольку, как правило, построить график сложнее, чем использовать алгоритмы, о которых мы говорили выше, для непрерывных функций обычно предпочитают работу по указанным алгоритмам.

Пример 1:

Найдите наименьшее значение функции , где a
Решение:

Чтобы построить график, есть смысл задать функцию так, чтобы не было знаков модулей. Для этого необходимо рассмотреть аналитическое выражение функции в каждом из следующих четырех возможных случаев:

  1. Если значит, , и получаем

  2. Если , значит,

  3. Если , значит,

  4. Если , значит,

Заданную функцию можно переписать в следующем виде:







Изобразив графи этой функции, делаем вполне очевидный вывод: у наименьшее достигается при х=b и равняется с-а.

Пример 2:

Найдите наименьшее значение функции .

Решение:

1. Разобьем функцию на элементарные функции.



2. Построим графики функций.




3. Составим таблицу монотонности


X



0



U

1 0

0

0

V

1

0

0

Y

4

0

0 1

4. Строим эскиз графика функции. По рисунку получаем, что у наименьшее не существует.








Задачи на оптимизацию.

В этом приложении к реферату мы говорим о задачах, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее значение какой-либо величины.

Мы предлагаем вам при решении задач на оптимизацию придерживаться следующего плана:

  1. Проанализировав условия задачи, выделить оптимизируемую величину и обозначить ее буквой.

  2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин принять за независимую переменную.

  3. Для полученной функции найти наибольшее (наименьшее) значение в промежутке реального изменения неизвестного.



Пример:

Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну из его диагоналей. Докажем, что наименьшую площадь имеет то сечение, которое образует с плоскостью основания угол .

Решение:

Оптимизируемая величина S – площадь сечения. Пусть ребро куба равно a , а - некоторое сечение. Введём независимую переменную . По смыслу задач ясно, что - это реальные границы изменения х.











Выразим площадь сечения через x и a. Отметим, прежде всего, что в сечении получается параллелограмм, так как линии пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны между собой. Площадь параллелограмма можно найти по формуле . Из треугольника B1C1K находим: , и из треугольника DKC находим: . Из треугольника по теореме косинусов получаем , то есть

откуда после ряда преобразований получаем

.

Тогда .

В итоге получаем

.

Надо найти наименьшее значение функции на [0;a]. Имеем .

Точек, где не существует, в данном случае нет, так как знаменатель производной нигде не обращается в нуль: по условию a>x, тогда a2>ax и тем более , то есть .

Чтобы найти наименьшее значение функции, осталось вычислить значение функции S(x) на концах отрезка [0;a] и сравнить их со значением функции в точке . Имеем . Наименьшее значение функции S(x) равно . Оно достигается при .

В задаче требуется доказать, что угол, который наименьшее по площади сечение образует с плоскостью основания, равен . Для доказательства этого факта воспользуемся формулой , где - угол между плоскостями сечения и основания. Имеем , откуда находим: , то есть .

Пример:

Бревно длиной 20 дм имеет форму усеченного конуса с диаметрами оснований 2 и 1 дм. Требуется вырубить из бревна брус с квадратным поперечным сечением, ось которого был бы наибольшим.

Решение:

Оптимизируемая величина V – объем бруса, то есть объем прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием.

В осевом сечении конуса, которое одновременно является диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, получим равнобокую трапецию, в которую вписан прямоугольник. Обозначим буквой x высоту параллелепипеда, то есть высоту прямоугольника в осевом сечении: KM=x. Реальные границы изменения x:

Найдем объем V прямоугольного параллелепипеда. Отрезок FK представляет собой диагональ основания параллелепипеда. Найдем FK. Имеем FK=EM=AD-2MD=2-2MD. Проведем CLAD. Тогда LD=AD-AL=1-0,5=0,5 дм. Так как треугольники KMD и CLD подобны, то , то есть , откуда находим: , и, значит, FK=2-

-2MD=2-.





Площадь квадрата, служащего основанием прямоугольного параллелепипеда, можно найти по формуле , где d –диагональ основания, то есть d=FK. Значит, . Поскольку высота параллелепипеда равна x, то для объема получаем следующий результат:V=.

Для функции V= надо найти наибольшее значение на промежутке (0;20].

Имеем .

=0 при x=40 или при x=. Значение x=40 не принадлежит рассмотренному промежутку.

Осталось сравнить между собой значение функции V(x) в точке , 20 и предел функции при . Имеем , . Наибольшим из этих трех чисел является число , поэтому наибольшее значение функции равно .

Интерпретируем полученный результат для этой задачи. Чтобы вырубить из бревна брус наибольшего объема, нужно удалить верхнюю часть бревна так, чтобы осталось бревно высотой 13 дм, а затем из полученного бревна вырубить брус с квадратным поперечным сечением.

Для проверки своих знаний предлагаем выполнить тест на эту туму.


Тест.

Найдите наибольшие значения функций

А1. ,

  1. 1





  1. 0

А2. ,

  1. 1

  2. 0



  3. среди ответов нет правильных

А3. ,



  1. 0

  2. 3

  3. среди ответов нет правильных

А4.

  1. не существует

  2. 3

  3. -3

  4. 2

А5. ,

  1. 0



  2. 3

  3. среди ответов нет правильных

А6. Найдите наименьшее значение функции

  1. 0,5

  2. 3

  3. не существует

  4. среди ответов нет правильных

А7. ,





  1. 0

  2. среди ответов нет правильных

А8. Найдите точки минимума функции ,



  1. 105

  2. 0

  3. среди ответов нет правильных

А9. Найдите наименьшее значение функции

  1. 5



  2. 0

  3. среди ответов нет правильных

А10. Найдите множество, на который отображает луч производная функции









А11. Найдите образ промежутка [0;0,5] при отображении, заданном производной функции



  1. такого промежутка не существует



  2. среди ответов нет правильных

В1. Из всех равнобедренных треугольников с постоянной длиной медианы, проведенной к боковой стороне, найти треугольник с наибольшей площадью. Чему равен угол при вершине такого треугольника?

В2.Найти набольшее и наименьшее значение функции , на отрезке

В3. Найти наименьшее значение a, при котором уравнение имеет на промежутке хотя бы одно решение.

В4. Найдите наибольшее значение функции

В5. Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

С1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции ,

С2. Около шара радиуса r описана правильная четырехугольная пирамида. Найдем наименьшее значение площади ее боковой поверхности.


Ответы.

А1 - 2 В1 С1


А2 - 1 В2

А3 - 3 В3 a=9 С2

А4 - 2 В4 2

А5 - 2 В5 18=9+9

А6 - 3

А7 - 1

А8 - 1

А9 - 4

А10- 2

А11- 4


Вывод.


Эта исследовательская работа посвящена проблеме отыскания наибольшего и наименьшего значений функций. В реферате были рассмотрены различные подходы решения таких задач. Рассматривая их, мы к выводу, что некоторые методы наиболее приемлемые и часто используемые в практике.

С проблемой поставленной в работе люди сталкиваются ежедневно. С подобными задачами приходиться сталкиваться людям различных профессий. Видимо, поэтому на всех приёмных экзаменах в ВУЗы обязательно присутствуют задачи по данной теме. Не нужно ограничиваться только школьным курсом математики, ведь в наше время уровень требований по образованию все возрастает и возрастает.


ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович «Практикум по элементарной математике (геометрия)»

  2. А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский «Справочник по методам решения задач по математике»

  3. В.А. Гусев, А.Г. Мордкович «Математика (справочные материалы)»

  4. «Математика в школе» 2000 год



Похожие:

Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconНациональная библиотека Чувашской Республики
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела Чувашской Республики
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия icon1. Биография Зои Космодемьянской
Жандарова Светлана, учащаяся 8-ого «А» класса ргоу «Ядринская национальная гимназия интернат»
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconМинистерство образования Чувашской Республики моу «Средняя общеобразовательная школа пос. Опытный Цивильского района Чувашской Республики»
Программа курса «Зарубежная литература» разработана в соответствии с задачами модернизации содержания образования, основными положениями...
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconМинистерство образования Чувашской Республики моу «Средняя общеобразовательная школа пос. Опытный Цивильского района Чувашской Республики»
Программа курса «От литературы 20 века к веку 21» разработана в соответствии с задачами модернизации содержания образования, основными...
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconК Ě неке чувашской летопи çĚ Республики
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела чувашской республики
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconК Ě неке чувашской летопи çĚ Республики
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела чувашской республики
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconК Ě неке чувашской летопи çĚ Республики
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела чувашской республики
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия icon«государственный архив печати чувашской республики»
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела чувашской республики
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconБюджетное учреждение Чувашской
Бюджетного учреждения Чувашской Республики «Государственный архив современной истории Чувашской Республики» Министерства культуры,...
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия iconРеспубликанское государственное учреждение «Государственная книжная палата Чувашской Республики» книги чувашской республики 2001-2005
Министерство культуры, по делам национальностей, информационной политики и архивного дела
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница