Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”




Скачать 111.56 Kb.
НазваниеСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Дата14.10.2012
Размер111.56 Kb.
ТипДокументы

Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”

УДК 539.3, 004.42

Глечиков Д.И.

Новокузнецкий филиал-институт Кемеровский государственный университет, г. Новокузнецк

Моделирование и оптимизация тонкостенных однонаправленно армированных панелей из полимерных композиционных материалов

В настоящее время расширяется область применимости конструкций, изготавливаемых методом пултрузионного формования, таких как настилы пола пассажирских вагонов и настилы пешеходных мостов и переходов. Технология пултрузионного формования позволяет производить преимущественно однонаправлено армированные элементы конструкций, что затрудняет реализацию высоких прочностных свойств волокнистых композиционных материалов путем выбора рационального армирования. В связи с этим на первый план выдвигается задача оптимизации, связанная с определением следующих конструктивных и жесткостных параметров – толщин полок и стенок профиля, габаритных размеров, объемной доли армирующих волокон.


Профиль представляет собой коробчатую тонкостенную конструкцию, разделенную внутренними перегородками на несколько полостей и изготавливается методом пултрузионного формования. Сечение профиля показано на рисунке 1. Настил пола железнодорожного вагона составляется из продольно (по вагону) расположенных профилей больших длин, соединенных между собой клее-механическим соединением и опирается на сплошные поперечные лаги (рисунок 2).



Рисунок 1 – Сечение профиля




Рисунок 2 – Геометрическая модель участка настила


Начальным этапом оптимизации конструкции является определение геометрических параметров панели с использованием модели макроуровня. Предполагается, что панель деформируется как трехслойная ортотропная пластина, в которой сплошной податливый средний слой имитирует работу системы вертикальных стенок. При этом деформирование участка панели между двумя соседними лагами на макроуровне рассматривается как цилиндрический изгиб пластины.

Ставится задача нахождения проектных параметров из условия минимума массы при ограничениях на максимальный прогиб, максимальные нормальные и касательные напряжения и коэффициент запаса по устойчивости. Основными варьируемыми параметрами являются толщина верхней полки h1, нижней полки h2 и стенки профиля h3 (рисунок 3). Строительная высота hпр считается заданной. Предельные значения для напряжений и нагрузок при статических и динамических силовых воздействиях определяются нормами расчета и проектирования вагонов железных дорог МПС колеи 1520 мм (несамоходных). Соотношения для расчета прогибов, напряжений и минимальных критических сил находятся из условий цилиндрического изгиба трехслойной ортотропной пластины.



l1 – половина длины пролета между соседними стенками,

l2 – высота стенки,

h1 – толщина верхней полки,

h2 – толщина нижней полки,

h3 – толщина стенки,

hпр – высота сечения профиля

Рисунок 3 – Участок профиля


Модель макроуровня позволяет получить аналитическую зависимость максимальных прогибов, напряжений и коэффициента запаса по устойчивости от конструктивных параметров. Это позволяет решать задачу оптимизации по массе на макроуровне с использованием методов прямого перебора, так как значения целевой функции и ограничений вычисляются достаточно быстро. В то же время, изменение конструктивных параметров может приводить к выходу из области адекватности модели макроуровня, и требуется уточнение положения оптимума с учетом силового взаимодействия элементов конструкции при описании деформирования с более общих позиций, что достигается использованием модели метауровня.

На метауровне гипотезы теории тонких ортотропных пластин принимаются раздельно для участков полок и стенок. Модель деформирования строится с использованием метода конечных элементов в форме метода перемещений. Для вывода разрешающих уравнений используется условие минимума функционала Лагранжа. Дискретизация производится с использованием треугольного конечного элемента Зенкевича с линейной аппроксимацией мембранных перемещений и эрмитовой аппроксимацией прогибов [1]. После дискретизации решение вариационной задачи сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений в перемещениях.

, (5)

где K – матрица жесткости, u – вектор узловых перемещений, Q – вектор эквивалентных узловых сил. По найденным значениям узловых перемещений определяются напряжения и деформации.

Для решения задачи устойчивости в записи функционала учитывается работа докритических напряжений на нелинейных составляющих деформаций. Условие равенства нулю второй вариации потенциальной энергии приводит к обобщенной задаче собственных чисел и векторов для пары матриц – жесткости K и геометрической жесткости G[2].

Алгоритмы расчета по модели макроуровня выполняются быстро и позволяют найти оптимум целевой функции за счет выполнения большого числа расчетов с перебором аргументов, что избавляет от необходимости использования более тонких методов решения задачи на экстремум. Модель метауровня приводит к алгебраическим задачам с матрицами высокой размерности (порядка десятков и сотен тысяч), поэтому число вариантов расчета в условиях ограниченности времени на проектирование конструкции должно быть невелико. Одним из подходов к сокращению общей трудоемкости параметрического исследования является использование экономичных численно-аналитических алгоритмов, позволяющих получить параметрические зависимости в локальной области пространства проектных параметров.

Для проведения параметрического исследования на метауровне строится алгоритм решения системы уравнений с матрицей, линейно зависящей от трех параметров:

, (6)

где K0 – глобальная матрица жесткости, соответствующая конструкции с базовыми значениями конструктивных параметров, C1, C2, C3 – глобальные матрицы приращений. При небольших изменениях параметра зависимость глобальной матрицы жесткости от параметра можно аппроксимировать линейной зависимостью:

, (7)

где K0 – глобальная матрица жесткости в базовом варианте конструкции, К1, К2, и К3 – матрицы жесткости, соответствующие вариантам конструкции со значениями параметров 1, 2 и 3, равными единице.

Решение системы (6) раскладывается в ряд по степеням варьируемых параметров:

(8)

После подстановки равенства (8) в уравнение (6), раскрытия скобок и приравнивания выражений, содержащих множителями параметры с одинаковыми степенями, получаются рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов ui:

,

,

, …

(9)

где k, l, m < n.

Описанная методика параметрического исследования используется для уточнения положения точки оптимума, найденного по упрощенной модели макроуровня.

В качестве варьируемых параметров 1, 2, 3 выбирается толщина верхней полки h1, нижней полки h2 и стенки профиля h3. В соответствии с описанной методикой малого параметра зависимость глобальной матрицы жесткости от трех параметров заменяется её линеаризацией по формуле (7).

Ищется зависимость максимальных прогибов в следующей области изменения параметров: , , , где - набор оптимальных значений параметров, полученных по упрощенной модели, - приращения варьируемых параметров, соответствующие половинам рассматриваемых интервалов варьирования.

После нахождения коэффициентов разложения решения в ряд по степеням параметров 1, 2, 3 по формулам (8) могут быть найдены различные приближения к функции путем взятия различного числа слагаемых в выражении (8). Учет всех первых степеней варьируемых параметров потребует взятия 4 слагаемых ряда, вторых с учетом суммарных степеней параметров – 10 слагаемых, третьих – 20, четвертых – 35, пятых – 56 и т. д. Для получения решения с необходимой точностью должно быть выбрано число слагаемых, соответствующих определенной степени, и сделана апостериорная оценка радиуса сходимости ряда.

В рассматриваемом случае были исследованы зависимости полученного решения от изменения по отдельности каждого из варьируемых параметров 1, 2, 3, при фиксированных значениях остальных, для числа слагаемых, позволяющих учесть первую, вторую, третью, четвертую и пятую степени параметров (рисунок 4).



Рисунок 4 – Зависимость максимального прогиба модели wmax, мм, от изменения параметра 1, 2, 3, для числа слагаемых равного 1, 4, 10, 20, 35 и 56


Из рисунка 4 видно, что ряд сходится не на всем интервале изменения параметра 1.. Для определения области изменения параметров, на которой можно доверять полученному решению, исследовалось поведение разности между последовательными приближениями , , ,… при разных значениях параметра, на основании чего оценивался интервал сходимости ряда.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (8)

, , , … , ,…, (10)

в которой для простоты нумерация элементов соответствует максимальным суммарным степеням множителей 1 - 3, взятых при суммировании.

Если последовательность (10) сходится к сумме ряда , то для разностей между последовательными приближениями

, , …, ,… (11)

справедливо соотношение

. (12)

Необходимым условием сходимости ряда (12) является стремление к нулю его n-го члена:

, (13)

которое также является необходимым условием сходимости ряда (8).

Будем исследовать сходимость ряда (8) отдельно для каждого параметра, положив остальные равными нулю. В этом случае ряд (8) можно представить как ряд по степеням одной переменной:

. (14)

В случае если ряд (14) сходится с радиусом r, то внутри области сходимости для его i-го члена справедлива оценка

. (15)

Выражая i-й член ряда (14) через полученные при вычислениях значения частичных сумм (12), получим выражение

, (16)

которое может быть использовано для апостериорной оценки радиуса сходимости r.

Прологарифмируем неравенство (16):

. (17)

Рассматривая выражение (17), можно сделать вывод о том, что внутри интервала сходимости график зависимости логарифмов разностей между последовательными приближениями от номера итерации расположен ниже прямой с коэффициентом наклона, равным . Для значений , попадающих внутрь интервала сходимости, соответствующие прямые будут иметь отрицательный коэффициент наклона, то есть будут убывающими. Это позволяет принять за приближенную оценку радиуса сходимости ряда (8) максимальное по абсолютной величине значение , для которого график зависимости логарифма разности между последовательными приближениями убывает на интервале от 0 до n.

На рисунке 5 показаны графики функции для различных значений 1. Данные рисунки позволяют установить максимальное значение параметра, при котором наблюдается сходимость ряда для выбранного приближения.



Рисунок 5 – Зависимость натурального логарифма разности между последовательными приближениями от номера приближения при отрицательных значениях 1

Как видно из рисунка 5, графики зависимостей являются убывающими для значений , откуда следует оценка радиуса сходимости ряда для параметра 1, полученная при числе слагаемых, обеспечивающем сумму с максимальным суммарным значением степени, равным 5.

Полученная оценка радиуса сходимости позволяет установить область изменения конструктивных параметров в окрестности найденного оптимума, на которой можно доверять полученному разложению. Таким образом, численно-аналитический алгоритм дает полиномиальную аппроксимацию функции отклика при варьировании проектных параметров. Используя полученную зависимость, в пределах установленной области сходимости можно скорректировать положение оптимума. Это замыкает общий алгоритм оптимизации конструкции по двухуровневой модели.

Описанная методика оптимизации и параметрического исследования была использована для нахождения оптимальных геометрических параметров тонкостенных панелей настила пола пассажирских железнодорожных вагонов.



Рисунок 6 – Линии уровня прогибов (сплошные линии) и удельной массы конструкции (пунктир)


Из рисунка 6 видно, что удельная масса конструкции может быть уменьшена при неизменном прогибе за счет более сильного увеличения толщины стойки при незначительном уменьшении толщин полок, что соответствует перемещению точки выбора начального значения параметров из исходного положения вдоль кривой, параллельной линиям уровня прогибов, в направлении увеличения параметра 3. Уменьшения значения прогиба при постоянной удельной массе можно добиться при перемещении начальной точки вдоль кривой, параллельной линиям уровня массы.

В пределах поля, представленного на рисунке 6, наилучшим решением поставленной задачи минимизации прогиба будет точка с координатами , , . Это соответствует конструктивным параметрам: ==1,9, =3,9 мм. Максимальный прогиб при этом уменьшается с 1,18 до 1,15 мм. Полученные значения были повторно использованы в качестве базовых для построения нового приближения численно-аналитическим методом; значимого смещения точки оптимума при этом не получено.

Для окончательного выбора оптимального значения параметров должны быть рассмотрены другие виды ограничений – ограничения, связанные с особенностями изготовления конструкции, ограничения по напряжениям, ограничения, возникающие при других видах нагрузок – например, возможность продавливания тонкой верхней полки при воздействии локальной нагрузкой, приложенной в середине участка между соседними стойками.

Однако в данном случае все ограничения (по прочности и устойчивости) не являются активными, т.к. величины действующих напряжений на порядок меньше предельных для материала.

Предложен подход, в котором совмещены интерактивные графические средства редактирования с интерпретатором входного языка (рисунок 6). Для снижения трудоемкости проведения серии расчетов в процессе создания геометрической модели формируется протокол визуальных построений на входном языке, в который в виде переменных заносятся параметры модели. При формировании данных с измененными параметрами выполняется повторная интерпретация протокола с присвоением новых значений соответствующим переменным. Это обеспечивает возможность автоматической модификации данных при изменении проектных параметров. В целях реализации данного подхода предложена объектная структура взаимодействия средств визуального редактирования модели и интерпретатора входного языка. В структуре математической модели выделено множество объектов для представления геометрических, топологических и физико-механических данных о структурно-геометрической модели, надстройкой над которым является множество объектов конечно-элементной модели. Для реализации алгоритмов задания данных входной язык «Ядро» расширен набором макрокоманд, разработана объектная структура средств визуализации модели и средств построения конечно-элементной сетки. Предложенные программные решения реализованы в исследовательском пакете программ математического моделирования «Композит».




Рисунок 7 – Взаимодействие объектов при редактировании модели


Программы, реализующие разработанные алгоритмы на базе построенных математических моделей, используются при проектировании тонкостенных конструкций, изготавливаемых методом пултрузионного формования.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. – М.: Мир, 1975. – 541 с.

2. Еременко С. Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С. Ю. Еременко. – Харьков: «Основа» при Харьк. гос. ун-те, 1991. – 272 с.








Похожие:

Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”

Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича со ран, г. Новосибирск
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconИсследование поведения контактной границы при взаимодействии жидких струй
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Об установившемся течении смеси вязких несжимаемых жидкостей в цилиндрических трубах
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
Кусочно-линейная модель напряжений и усилий на торцевой поверхности валка при производстве двутавров
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач тепло- и массообмена”
Численно-аналитический метод решения задачи распределения тепла при скользящем контакте электродов
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconЧисленные методы механики сплошной среды. Механика жидкости и газа
Краткий исторический обзор. Основные уравнения механики сплошной среды. Консервативная форма уравнений. Гиперболичность уравнений...
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconСекция “Численные и численно-аналитические методы решения краевых задач тепло- и массообмена”
Бердский филиал Новосибирского государственного технического университета, г. Бердск
Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения” iconУравнения математической физики и численные методы
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница