Государственное учреждение образования




Скачать 88.35 Kb.
НазваниеГосударственное учреждение образования
Дата12.10.2012
Размер88.35 Kb.
ТипДокументы
Министерство образования Республики Беларусь

Государственное учреждение образования


Республиканский институт высшей школы”


УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра

образования Республики Беларусь

______________________ А.И. Жук

« 05 » 07 2006 г.

Регистрационный № ТД – G.093/тип.

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА


Учебная программа

для высших учебных заведений по специальности

1- 31 03 03 Прикладная математика, (по направлениям)


СОГЛАСОВАНО

Председатель
Учебно-методического объединения
вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию

__________________ В.В. Самохвал

__________________ 2006


Начальник управления высшего и среднего специального образования Министерства образования Республики Беларусь

__________________ Ю.И. Миксюк

__________________ 2006


Первый проректор
Государственного учреждения образования
“Республиканский институт высшей школы”

______________________ В.И. Дынич

__________________ 2006


Эксперт

______________________ С.М. Артемьева

_________________ 2006


Минск

2006


Составители:

В.В. Бобков, профессор кафедры вычислительной математики Белорусского государственного университета, доктор физ.-матем. наук, профессор;

П.А. Вакульчик, доцент кафедры вычислительной математики Белорусского государственного университета, кандидат физ.-матем. наук, доцент

В.И. Репников, доцент кафедры вычислительной математики Белорусского государственного университета, кандидат физ.-матем. наук, доцент


Рецензенты:

Кафедра вычислительных методов и программирования Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники;

Л.А. Янович, член-корреспондент НАН Беларуси


Рекомендована

к утверждению в качестве типовой:

Кафедрой вычислительной математики Белорусского государственного университета

(протокол № 11 от 11 апреля 2006г.).

Научно-методическим советом Белорусского государственного университета

(протокол № 4 от 11 июня 2006г.).

Научно-методическим советом по прикладной математике и информатике

(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

Научно-методическим советом по специальности Компьютерная безопасность

(протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию


(протокол № 15 от 15 июня 2006г.).


Ответственный за редакцию: В.И. Репников

Ответственный за выпуск: О.А. Кастрица


Пояснительная записка



Дисциплина «Методы численного анализа» ставит своей целью подготовку студентов к разработке и применению с помощью ЭВМ вычислительных алгоритмов для решения задач, возникающих в процессе математического моделирования.

Данный курс непосредственно связан с дисциплинами «Вычислительные методы алгебры», «Математический анализ», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ и интегральные уравнения» и «Уравнения математической физики». Он является базовым для дисциплины «Численные методы математической физики» и многих других дисциплин специализации.

Изучение курса преследует две основные цели: во-первых, привить студентам навыки, необходимые для проведения теоретического исследования алгоритмов, предназначенных для реализации математических моделей, приводящих к задачам теории приближений, нелинейным уравнениям и системам, а также интегральным и дифференциальным уравнениям, и, как следствие, не только адаптации известных алгоритмов к решению конкретных задач, но и создания новых; во-вторых, сформировать навыки компьютерной реализации конкретных алгоритмов и анализа получаемых численных результатов. Таким образом, в результате изучения курса студенты должны приобрести навыки проведения вычислительного эксперимента.


В соответствии со стандартом специальности учебная программа предусматривает для изучения дисциплины 170 аудиторных часов, в том числе лекционных – 102 ч., лабораторных – 52 ч. и 16 ч. контролируемой самостоятельной работы.


Содержание




Введение


Предмет «Методы численного анализа» и основные задачи, излагаемые в указанном курсе.

Решение нелинейных уравнений и систем


Решение нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Теорема о сходимости. Ускорение сходимости метода итерации. Метод Стеффенсена. Методы типа Чебышева. Метод Ньютона для одного уравнения. Видоизменения метода Ньютона. Поиск всех корней алгебраических уравнений. Метод Лобачевского. Метод Лина. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Методы Зейделя и Гаусса-Зейделя. Метод Ньютона и его видоизменения. Сведение решения системы нелинейных уравнений к решению вариационной задачи. Метод покоординатного спуска. Метод градиентного спуска. Проблема выбора начального приближения. Метод продолжения по параметру.

Приближение функций


Задача о наилучшем приближении в линейных нормированных пространствах. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве. Среднеквадратичное приближение функций алгебраическими многочленами. Метод наименьших квадратов. Задача построения ортонормированного базиса. Наилучшее равномерное приближение. Теорема о чебышевском альтернансе. Примеры построения многочленов наилучшего равномерного приближения. Интерполирование в линейных нормированных пространствах. Алгебраическое интерполирование. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона для неравномерной сетки. Интерполяционные формулы Ньютона для равномерной сетки. Интерполяционная формула Стирлинга. Многочлены Чебышева. Минимизация остатка интерполирования. Интерполирование с кратными узлами. Многочлен Эрмита. Сходимость интерполяционного процесса. Применение интерполирования к вычислению производных. Формулы численного дифференцирования и их погрешности. Интерполяционные методы решения нелинейных уравнений. Сплайн-интерполирование. Интерполяционный кубический сплайн. Экстремальное свойство интерполяционного кубического сплайна. Сплайн-сглаживание. Многомерная алгебраическая интерполяция. Бикубический сплайн. Приближение кривых и поверхностей. Интерполяционный параметрический сплайн.

Численное интегрирование

Квадратурные формулы и связанные с ними задачи. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона). Правило Рунге оценки точности квадратурных формул и автоматический выбор шага интегрирования. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (НАСТ). Теоремы существования и единственности, о свойствах узлов квадратурных формул НАСТ. Частные случаи квадратурных формул НАСТ. Квадратурные формулы с заранее предписанными узлами и равными коэффициентами. Ослабление особенностей интегрируемой функции. Понятие о кубатурных формулах. Кубатурная формула трапеций на прямоугольной сетке. Кубатурная формула средних на прямоугольной сетке. Кубатурная формула Симпсона. Кубатурная формула средних на треугольной сетке. Кубатурная формула повышенного порядка точности на треугольной сетке.


Численное решение интегральных уравнений

Метод механических квадратур, метод замены ядра на вырожденное и метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Метод квадратур и метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Метод Галеркина решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода. Понятие устойчивости и корректности задач. Уравнение Фредгольма первого рода как некорректная задача. Метод регуляризации решения некорректных задач.


Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Классификация методов. Построение одношаговых методов способом разложения решения в ряд Тейлора. Методы типа Рунге-Кутта. Построение вычислительных правил на основе принципа последовательного повышения порядка точности. Правило Рунге оценки погрешности приближенного решения. Вложенные методы типа Рунге-Кутта. Сходимость одношаговых методов. Многошаговые методы. Экстраполяционный и интерполяционный методы Адамса. Общие линейные многошаговые методы. Устойчивость численных методов решения задачи Коши. Жесткие задачи и методы их решения. Неявные методы Рунге-Кутта. Формулы дифференцирования назад.

Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод стрельбы. Метод редукции. Метод дифференциальной прогонки. Вариационно-проекционные методы решения граничных задач: методы моментов, Галеркина, Ритца, наименьших квадратов. Сеточные методы решения граничных задач. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Постановка разностной задачи. Погрешность аппроксимации разностных схем. Повышение порядка аппроксимации. Корректность и устойчивость разностных схем. Теорема о сходимости. Математический аппарат теории разностных схем: формулы разностного дифференцирования произведения, суммирования почастям, разностные аналоги теорем вложения. Требования, предъявляемые к разностным схемам. Свойства консервативности и однородности разностных схем. Основные способы построения разностных схем: интегро-интерполяционный, метод Ритца, метод Галеркина, методы аппроксимации квадратичного функционала и сумматорного тождества. Принцип максимума. Монотонные разностные схемы.

Литература



Основная

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2004. – 636 с.

  2. Калиткин Н.Н. Численные методы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

  3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы: Учебное пособие.– М.: Наука, т. 1– 1976, 304 с., т. 2– 1977, 400 с.

  4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учебное пособие. – М.: Наука, 1989. – 608 с.

  5. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1983. – 272 с.

  6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

  7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие. – М.: Наука, 1986. – 286 с.

Дополнительная


  1. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. – 440 с.

  2. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. М.: Мир, 1977. – 400 с.

  3. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. – 500 с.

  4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Мн.: Вышэйшая школа, т. 1 – 1972, 584 с., т. 2 – 1975, 672 с.

  5. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. – 560 с.

  6. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диф-ференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. – 512 с.

  7. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. С.-Петербург. Изд-во Петербургского университета, 1998. – 472 с.

  8. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. – 512 с.



Похожие:

Государственное учреждение образования iconПрограммы повышения квалификации педагогических и руководящих работников муниципальных общеобразовательных учреждений Воронежской области в региональный банк программ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconРоссийской федерации государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «санкт-петербургский государственный университет экономики и финансов» Деканат общеэкономического факультета
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconГосударственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования «санкт-петербургский учебный центр федеральной противопожарной службы» утверждаю
Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования
Государственное учреждение образования iconРоссийской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный технический университет»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconПравила приема в государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный педагогический университет им
В государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «воронежская государственная медицинская академия имени н. Н. Бурденко»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconФедеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный университет культуры и искусств» приказ «16» июня 2009 года №264-О
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconФедеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «тюменская государственная академия культуры и искусств» Институт сервиса и социально-информационных коммуникаций
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconФедеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный университет путей сообщения» (миит) утверждаю: Директор роат
Федеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственное учреждение образования iconФедеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «московский государственный университет путей сообщения» (миит) утверждаю: Директор роат
Федеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница