Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов




Скачать 114.96 Kb.
НазваниеЗадача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов
Дата12.10.2012
Размер114.96 Kb.
ТипЗадача




Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»


Правильные фигуры и тела в природе

и жизнедеятельности человека


Предметная область: Математика


ФИО автора работы

Шкрыгунова Елизавета Владимировна

Возрастная категория

учащаяся 11а класса

ФИО научного руководителя

Хасина Вера Яковлевна,

учитель математики

образовательное учреждение

МАОУ «Гимназия №1» г. Брянска


2012
План

  1. Введение (обоснование актуальности выбранной темы, цели и задачи, методы исследования)

  2. Какие тела и фигуры можно назвать правильными

  3. Историческая справка

  4. Где встречаются правильные фигуры и тела:

а) в биологии

б) в строении веществ

в) в искусстве

г) в природе и жизнедеятельности человека

5. Как можно получить правильное тело в домашних условиях

6. Выводы

7. Литература

8. Приложения


Введение

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Правильные многогранники с древних времен привлекали внимание философов, строителей, архитекторов, художников, математиков. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Тема актуальна и в наше время, потому что правильные многогранники встречаются в природе и очень практичны в использовании.

Цель этой работы – рассказать о правильных телах и фигурах, об их применении в жизнедеятельности человека и различных областях науки. Ведь что интересно, порой то, что нас окружает, в большинстве своём является теми самыми правильными фигурами и телами, а мы этого просто не замечаем

Задача этой работы – изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов.

Методы исследования: анализ, классификация, моделирование, эксперимент.

Правильные фигуры и тела (многогранники). Что это такое?

Правильный многогранник – объёмная выпуклая геометрическая фигура, все грани которой - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости.

Существует множество правильных многоугольников, но правильных многогранников всего пять. Их называют Платоновыми телами Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число («тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20) граней («эдра»). Вот их названия: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Но почему их только 5? Известно, что Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, значит:

в одной вершине может сходиться:

  • правильных треугольников

3 (180°) - тетраэдр

4 (240°) - октаэдр

5 (300°) - икосаэдр

  • квадратов – 3 (270 °) - куб

  • пятиугольников – 3 (324°) - додекаэдр.

«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число рёбер равно двум» - так звучит справедливая во всех случаях формула Эйлера

В(вершины) + Г(грани) – Р(рёбра) = 2

Приятно то, что эта формула не связана ни с углами, ни с расстояниями.

Она предельно наглядна, что качественно упрощает её для запоминания и применения, во избежание ошибок при вычислениях с иррациональными выражениями. (рис.1 Приложения)

Правильный многогранник тем и правилен, что каждая его грань это правильный p-угольник и в каждой его вершине сходится одно и то же число q таких граней. Математики обозначили это символом Шлефли {p, q}. Отсюда следует, что число всех ребер, которые составляют «каркас» Платонова тела (иными словами, число планок, которые пришлось заготовить Леонардо да Винчи для каждой из своих моделей), можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению числа всех вершин на число сходящихся к каждой из них ребер q, поделенному пополам, — ведь при таком подсчете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать Платонову телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой грани р и опять — по той же причине — разделив эту цифру на два. Если подставить теперь полученные соотношения в формулу Эйлера и несколько поразмыслить над получившимся результатом, то мы как раз и докажем утверждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы Шлефли которых — {3,3}; {4,3}; {3,4}; {5,3} и {3,5}. Итого—пять!

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. (рис. 2 Приложения).

Историческая справка

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Интересно, что Начала Евклида начинаются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти Платоновых тел. Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал, в которой и доказывает, что правильных многогранников может быть только 5.

Где встречаются правильные тела

Биология

Почему капсиды многих вирусов (например, бактериофаги (рис. 3 Приложения), мимивирус (рис.4 Приложения)) имеют форму правильного многогранника, а именно икосаэдра? Оказывается, все дело в экономии. Вирус намного меньше клетки и должен вместить в себе огромное количество информации при ограниченной массе и объёме, чтобы заставить работать клетку так, как ему нужно. Таким образом, вирусы «решают» сложнейшую (её называют «изопиранной») задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объёме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Все так называемые «сферические вирусы», в том числе и вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.

Скелет одноклеточного организма феодарии (рис.5 Приложения) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Радиолярии – микроскопические морские организмы, имеющие форму додекаэдра.

Строение веществ

Каждое кристаллическое вещество имеет определённую структуру, от которой зависит прочность и другие его свойства. В форме куба кристаллизуется поваренная соль(хлорид натрия) (рис.6 Приложения), флюорит и другие вещества. Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель (рис. 7 Приложения). Кристалл пирита (сернистого колчедана, FeS2) (рис. 8 Приложения) имеет форму додекаэдра.

Так же было выяснено, что форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

Форму тетраэдра имеет молекулы воды (рис. 9 Приложения), льда, метана, аммиака, сфалерита ZnS; комплексные ионы.

Искусство

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" (рис. 10 Приложения) Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Многоугольники, как и сферы, используются в работах Эшера для создания перспективы. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация». На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами.

Природа и жизнедеятельность человека

Пчелиные соты (рис. 11 Приложения), наряду с птичьими гнёздами, муравейниками и жилищами бобров, относятся к числу наиболее совершенных сооружений в природе. Соты – оптимальный принцип использования пространства и материала, не случайно «сотовый метод» широко распространён в градостроительстве, геологоразведке и сельском хозяйстве. Иногда пчёл называют гениальными геометрами, но на самом деле эти неутомимые насекомые не знают правила шестигранника: они лепят простые цилиндры, а гексагональность сот – лишь следствие равномерного распределения воска

Морская звезда (рис. 12 Приложения) – это пентаграмма, или древний символ вечной жизни, так как геометрия её линий образует траекторию бесконечного движения. В античности пентаграмму считали символом красоты мира. Поскольку она основана на Золотом сечении, определяющем равновесие и гармонию в природе.

В 30 км от столицы Боснии и Герцеговины близ города Високо после серии исследований было объявлено, о сенсационной находке. В долине у г. Високо удалось обнаружить пять пирамид (рис. 13 Приложения), сооруженных древними зодчими. Все строения соединены между собой сетью подземных туннелей. Это правильные геометрические фигуры, обращенные на запад, восток, север и юг, причем северная часть каждой из пирамид направлена к Полярной звезде - так же, как у пирамид Египта и Мексики. Самая большая, из этих пирамид Храм Солнца, она превышает размерами пирамиду Хеопса в Египте на 30 м. и является крупнейшим мировым сооружением. Это древняя 220- метровая пирамида, построенная неизвестной цивилизацией примерно 40 тыс. лет назад.

Египетские пирамиды (рис. 14 Приложения) — величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса и почётный кандидат «новых семи чудес света» — Пирамиды Гизы. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Слово «пирамида» — греческое. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала прообразом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы.

Мексиканская Cueva de los Cristales(Пещера Кристаллов) (рис. 15 Приложения) - это дом для самых крупных в мире кристаллов, некоторые из них достигают 11 метров в длину. Геологи утверждают, что кристаллы росли долгие тысячелетия в очень необычных условиях для подобных пещер. Температура в пещере составляет 38 градусов Цельсия круглый год.

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.

Из многоугольников можно составлять паркеты (рис.16 Приложения).

Паркет – покрытие плоскости многоугольниками сплошь, без просветов и двойных покрытий. Любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо не имеют общих точек.

Правильный паркет – такой паркет из правильных многоугольников, в котором вокруг любой вершины многоугольники расположены одним и тем же способом (вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют многоугольники одних и тех же наименований).

Игральные кости имеют в данное время форму куба. Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх. В древности же встречались разных форм, представляющих тела Платона.

Вернёмся в детство и вспомним нам всем известный Кубик Рубика (рис. 17 Приложения), который соответствует названию и имеет форму куба. Головоломка представляет собой пластмассовый куб. Его видимые элементы снаружи выглядят как составляющие куб 26 кубиков и способны вращаться вокруг 3 внутренних осей куба. Каждая сторона состоит из девяти квадратов и окрашена в один из шести цветов, в одном из распространённых вариантов окраски расположенных парами друг напротив друга: белый — жёлтый, синий — зелёный, красный — оранжевый; но в различных вариантах Кубика Рубика стороны окрашиваются в разные цвета совершенно различным образом. Повороты сторон кубика позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов. Задача игрока заключается в том, чтобы «собрать кубик Рубика»: поворачивая стороны куба, вернуть его в первоначальное состояние, когда каждая из граней состоит из квадратов одного цвета.

Пирамидка Мефферта (рис. 18 Приложения). «Молдавская пирамидка» или «Японский тетраэдр» — головоломка, похожая на кубик Рубика. Каждая грань поделена на 9 правильных треугольников. Задача головоломки стандартная: из состояния, в котором цвета отдельных фрагментов на гранях перепутаны, перевести игрушку в вид, когда каждая грань окрашена в один цвет

Так же нам хорошо известен детский калейдоскоп. При повороте оси которого меняются фигуры, составленные из правильных плоских фигур.

(Иллюстрации к данной статье смотрите в Приложениях)


Как можно получить правильное тело в домашних условиях

Завершенные и причудливые формы правильных многогранников широко используются в декоративном искусстве. Объёмные фигуры можно сделать более занимательными, если плоские правильные многоугольники представить другими фигурами, вписывающимися в многоугольник. Например: правильный пятиугольник можно заменить звездой. Такая объёмная фигура не будет иметь рёбер. Собрать её можно, связывая концы лучей звёзд. И 10 звёзд собирается плоская развёртка. Объёмной фигура получается после закрепления оставшихся 2 звёзд.

Возьмём 10-15 небольших надувных шариков одинакового размера. Их веревочки свяжем небольшими колечками прямо у основания шариков. Пропустим через них общую веревку, перехлестнём концы узлом и стянем. Шарики расположатся в пространстве каким-то образом. И только при их количестве в 12 штук они образуют равномерную и красивую группу (упаковку). Глядя на нее с любой стороны, мы будем видеть «цветок» из 5 лепестков-шариков с 6-ым в середине. Эти 12 шариков, обжимая 13-й в центре, сформируют додекаэдр. Они и сами станут додекаэдрами среди множества других обжимающих их шариков. Правильные 5-угольники единственные способны выстроиться без зазоров вокруг окружности (хотя и не могут полностью заполнить плоскость, как 6-угольники). Образованный такими гранями додекаэдр полностью, без зазоров формирует пространство. Он и куб, единственные, могут сформировать равномерную решетку пространства

Выводы

Правильность фигур и тел – это не только красота, это ещё и удобство. В мире существует правильные фигуры и тела, созданные не только человеком, но и самой природой. Значит, природа сама подсказывает нам, как нужно правильно обустраивать свой быт.

Литература

  1. http://ru.wikipedia.org 2) http://www.trinitas.ru


Похожие:

Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconУчебный план отделения физики, 2011/2012 учебный год Класс № к/р Содержание (тема работы и методических материалов)
Тела и вещества. Свойства тел. Объем. Измерение объема тела. Масса тела. Сила. Вес тела. Время. Измерение времени
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconДинамические задачи теории упругости
Качественные явления при динамическом (импульсном) и взрывном воздействии на тела и конструкции. Задача Коши, нестационарная задача...
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconЗадача анализа определение структуры текста, чтобы смоделировать его восприятие
Развернутый комментарий к статье, опубликованной в журнале yes как «На всякого мудреца найдется ключик к сердцу»
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconЗадача по использованию сырья и материалов 20 8 Задача по анализу использования материалов 22
Анализ обеспеченности организации материальными ресурсами и эффективности их использования
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconМеханика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I
Сопротивления материалов Новосибирской государственной академии водного транспорта
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconЗадача №1 Измерение скорости тела с помощью баллистического маятника При подготовке к выполнению этой задачи следует ознакомиться с теорией по учебным пособиям : Глава 3, И. В. Савельев «Курс общей физики»
П. К. Кашкаров, А. В. Зотеев, А. Н. Невзоров, А. А. Склянкин «Задачи по курсу общей физики с решениями. «Механика. Электричество...
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconКонспект урока, выполненного в технологии развития критического мышления
Обучающие: актуализировать и упорядочить знания детей о строении тела человека; дать представление о частях тела и внутренних органах...
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconПроявление телепатической связи при эмоциональных контактах людей в процессе творчества и интеллектуальной деятельности
Нами была поставлена задача в экспериментальных условиях смоделировать мысленное воздействие людей друг на друга при творческой и...
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconЗадача 65-80 16 задача 81-90 18 задача 91-100 18 задача 101-110 20 задача 111-121 20 задача 122-131 21 задача 132-141 24 Цель и задачи дисциплины Основная цель реализации дисциплины «Математика»
...
Задача этой работы изучив правильные фигуры и тела, постараться смоделировать их из подручных материалов iconОкружность и круг
Мы с вами закончили изучение главы «Длина окружности и площадь круга». Как вы думаете, почему в этой же главе мы изучаем правильные...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница