Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое




Скачать 222.11 Kb.
НазваниеПожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое
страница1/2
Дата05.05.2013
Размер222.11 Kb.
ТипДокументы
  1   2
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:


ВОЗВРАЩЕНИЕ К ХЕВИСАЙДУ.


С.В.Ганцевич, В.М. Калинин


ФТИ им А.Ф.Иоффе,СПБ Технический Университет

e-mail: sergei.elur@pop.ioffe.rssi.ru}


1.Введение


Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое количество предвзятостей, предрассудков, ошибок и несправедливостей. Наша задача - исправить ошибки и неточности, воздать должное Оливеру Хевисайду и сделать дальнейшие шаги в указанном им направлении.

Хевисайд начинал как инженер-телеграфист. К математике он относился не как к царице наук, а как к служанке техники. Ему приходилось много решать обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и он изобрел простой и краткий путь их решения, не заботясь о его формальном обосновании. Главная идея его состояла в том, чтобы обращаться с оператором дифференцирования как с числовым множителем, что сводило дифференциальные уравнения к алгебраическим. Уже здесь профессиональные математики обвинили его в произвольности и необоснованности его действий, хотя можно было смотреть на его метод как на эвристический и, каким бы парадоксальным он ни казался, можно было в каждом отдельном случае простой проверкой убеждаться, что полученное им решение верное. Вкравшиеся в его вычисления мелкие погрешности начали выдавать

за принципиальный порок его действий. Так Джеффрис [1] увидел главный источник ошибок Хевисайда в том, что операторы дифференцирования ∂ и интегрирования J не коммутируют. Этот же аргумент повторили Курант и Гильберт в своем знаменитом учебнике "Методы математической физики" [2]. Их логика выглядела так:



тогда как,



что и доказывает некоммутативность операторов, если f(0)≠ 0.

Они забыли, что Хевисайд решал свои уравнения в классе урезанных функций, так называемых оригиналов. Решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищется среди функций, равных нулю на отрицательной полуоси. Все эти функции при f(0)≠0 имеют в нуле скачок, и при дифференцировании появляется дельта-функция: (d/dt)f(t)=f’(t)+f(0)δ(t), что приводит к коммутативности интегрирования и дифференцирования:



Операторы дифференцирования и интегрирования становятся взаимно-обратными и однозначными. Именно здесь лежит причина, заставляющая искать решение в классе функций, которые равны нулю при t<0. Непонимание этого обстоятельства поставило авторов, излагавших метод Хевисайда, в несколько комичное положение: если Хевисайд мог объяснять условие f(t)=0 при t<0 тем, что в момент t=0 включается аппаратура, в которой при t<0 нет никакого сигнала, то его последователи широко применяли его метод и не в электротехнике, причем в их случае часто бывало f(t)≠0 при t<0 . Они приводили обычно не математические аргументы в пользу усекновения функций, например, что их не интересует решение при t<0, и проще всего положить его равным нулю. Причем в дальнейшем они не интересовались отрицательной полуосью, и их довод казался вообще ненужным.

Появившуюся здесь дельта-функцию изобрел именно Хевисайд, но не стал ее выпячивать, чтобы не дразнить математических гусей и настолько хорошо ее спрятал, выдвинув вперед функцию единичного скачка, θ(t)=0, t<0; θ(t)=1, t≥0, что именно эту функцию стали называть функцией Хевисайда, в то время как ее производная появилась лишь спустя несколько десятилетий в книге Дирака по квантовой механике и получила быстрое признание у физиков и техников, так как значительно укорачивала нужные выводы. Более сорока лет назад мы присутствовали на докладе Дирака в Ленинграде, но не интересовались тогда операционным исчислением и сожалеем, что не спросили его, знал ли он об истинном изобретателе дельта-функции. Ему, во всяком случае, не на что было сослаться, и, возможно, он не догадывался о значении, которое приобретет в дальнейшем дельта-функция. Математики долго игнорировали ее и после Дирака. Наше поколение физиков и математиков выросло на учебниках В.И.Смирнова и Г.В.Фихтенгольца по математическому анализу, где дельта-функция вообще не упоминалась. Ну, спрашивается, что это за функция, которая всюду равна нулю, кроме точки ноль, где она принимает значение +∞, и "площадь" под этой точкой в точности равна единице? Математики не успокоились, пока не придумали теорию обобщенных функций, в которой дельта-функция появилась уже как функционал, сопоставляющий функции ее значение в нуле. Теория обобщенных функций заняла свое место в математике, но привлекать ее в качестве обоснования операционного исчисления - значит стрелять из пушки по воробьям.

В двадцатые годы прошлого века строгое обоснование операционного исчисления увидели в преобразовании Лапласа:



где p - комплексный параметр. Каждому оригиналу f(t) отвечает его образ F(p), его преобразование Лапласа. Если f(t) может иметь разрывы, быть не дифферен-цируемой, то F(p) - аналитическая функция. Самое главное, что дифференцирование оригиналов соответствует умножению их образов на p , интегрирование - делению на p , и дифференциальные уравнения для оригиналов превращается в алгебраические для их образов. Находится образ решения, а затем соответствующий оригинал дает решение задачи.

Мы начнем с изложения операционного исчисления для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, отдав должное дельта-функции, причем у нас есть возможность искать решение сразу, не выделяя два этапа: находить сначала образ решения, а затем приходить по нему к самому решению, при этом не придется при решении неоднородных уравнений искать отдельно решение однородного уравнения с заданными начальными условиями, а затем добавлять к нему решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Как ни в какой другой области теории дифференциальных уравнений, уравнения и начальные условия сливаются в одном уравнении.


2. Основная идея операционного исчисления.


Рассмотрим класс функций, тождественно равных нулю при t<0. Сначала пусть это будут бесконечно-дифференцируемые функции, которые могут иметь единственный конечный скачок при t=0. Простейшее дифференциальное уравнение


(1) ,


представляет основную задачу интегрального исчисления. Здесь f(t) – оригинал,

а решение ищем тоже в классе оригиналов. Если мы хотим иметь решение также и в точке t=0 , нам придется ввести различие в обозначение производной: оператор дифференцирования, действующий на оригинал, в нуле порождает дельта-функцию


  1. ,

где при t  0 и y’=0 , при t < 0


Уравнение (1) принимает форму





Введем оператор интегрирования


,   0 ,

который является однозначным и взаимно обратным с оператором дифференцирования.

Убедимся в этом




Удобно обозначать оператор интегрирования как J=1/.

Если пара этих операторов встречается рядом, то можно их произведение заменять

единицей



Уравнение (3) решается сразу:





Это и есть общая формула для первообразной: если не задано, то можно считать это число произвольным.

Решим более общее уравнение


,


Вспомним формулу Тейлора с интегральным остатком:




Формулировка задачи Коши дает все, что нужно, для записи решения:





Другое простое уравнение получим из таблицы производных:


(4) ,

Оно имеет очевидное решение

Начнем с замены штрихованной производной на y. Этот процесс будем называть корректировкой уравнения:


, т.е.

Уравнение вбирает в себя и начальное условие. Решение существует, и оно единственно, как это следует из теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.



Основная идея операционного исчисления состоит в том, чтобы смотреть на оператор дифференцирования, как на числовой множитель. В соответствии с этой идеей можно

написать


(5)


Отсюда получаем первое операторное представление


(6)


Легко проверить, что можно увидеть в этом равенстве и неформальный смысл:

при t>0





Совпадение с формулой (6) и подтверждает возможность обращения с операторами 

и J как с числовыми множителями.

Если видеть в операционном исчислении лишь метод для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то формулы (6) вполне для этого достаточно, если дополнить её следствием, которое получим из (6), дифференцируя это равенство по :


(7) ,


3. Математический аппарат операционного исчисления


Как оказалось, методы исчисления операционного анализа применимы не только для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, но и для решения интегральных уравнения, разностных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и т.д.

Учитывая это, построим математический аппарат операционного исчисления, который можно использовать и для более простого и короткого решения и линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Уравнение гармонических колебаний



  1. , ,


имеет очевидное решение:

С помощью корректировки объединим уравнение и начальные условия:


,


Подставляя в уравнение y’’ , запишем дифференциальное уравнение в виде





Операторное решение:




Справа, пользуясь известными формулами Эйлера, находим:








А можно вычислить оба операторных выражения, пользуясь школьной формулой для геометрической прогрессии:








Получаем решение в уже выписанном виде. Совпадение формул является оправданием операционного исчисления.

Аналогично, уравнение с начальными условиями



имеет операторное представление




и операторное решение

,


которое опять можно аналогично предыдущему двумя способами представить в виде:





Начнем составлять таблицу операторных представлений:

, , ,


(2) ,


Если продифференцировать эти равенства по параметру, получим:


, , ,


(3)


Можно дифференцировать эти равенства по параметру и дальше:


(4) , при =0 отсюда получаем


, что, впрочем, очевидно.

Например, дифференцируя равенства

,


n раз по  , получим:


,


Кто помнит для экспоненты, тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса их преобразование Лапласа, тот может заметить, что все полученные операторные представления имеют форму

(5)


и это не случайно. Действительно, по формуле Эйлера, дающей операционную запись формулы Тейлора,


,


что верно для неурезанных функций при всех  (в области сходимости ряда Тейлора), а для урезанных – при 0. Здесь оператор выступает как оператор сдвига:



Применим это свойство к дельта-функции:


(6) ,

Таким образом, мы получаем в наше распоряжение таблицу преобразования Лапласа.

Чтобы получить операторное представление функции f(t) , достаточно воспользоваться ее преобразованием Лапласа F(p) .

Связи операционного исчисления с преобразованием Лапласа Хевисайд не заметил, как, впрочем, и все его последователи (во всяком случае мы ничего подобного не слышали). Впрочем, если бы он такую связь заметил, он вместо равенства (5)

написал бы скорее представление

,

где - ступенька Хевисайда, а множитель F() представляет преобразование Карсона. С помощью такой записи можно спрятать дельта-функцию от возможных нападок.


Дифференцирование оригинала.


Достаточно равенство (5) умножить на оператор дифференцирования.


(7) ,

Интегрирование оригинала.


  1. ,



Теорема запаздывания.


(9) ,   0


Теорема смещения.


(10)


Действительно,




Теперь можем пополнить нашу таблицу:

(11)


(12)


(13)


(14) ,


Дифференцирование изображения.

Дифференцируем по p равенство :



т.е.


(15)


Применяем эту формулу n раз:


(16)


Интегрирование изображения.

Проинтегрируем, если это возможно, равенство

по p от p до  :



т.е.


(17)


Теорема подобия.

(18) ,


Пусть . Введем =at. Очевидно, , .


Теорема Бореля о свертке.


(19)


Доказательство. Интеграл слева называется сверткой двух функций: f*=*f ,

как легко проверить.




Теорему Бореля о свертке можно применить к формуле (8) и n-кратное интегрирование

заменить однократным:





Интеграл Дюамеля.

Подействуем на формулу Бореля оператором :


(20)

Если переставить местами f и  , получим вторую формулу Дюамеля:


(21)


Теорема взаимности. Если f(t)=F()(t) и (t)=()(t) , то


(22) f(t)=[F()/()](t) или ()f(t)=F()(t)=f*


Операторное представление степени.


Будем исходить из интегрального представления гамма-функции:


, Re>0

Сделаем замену переменной интегрирования x=pt и перепишем эту формулу так:




Интегрировать можно по-прежнему по вещественной оси.

Мы видим, что есть Лапласов образ функции . Отсюда:


(23) , Re>0

По теореме о свертке

, Re>0

Эта формула определяет оператор интегрирования комплексного порядка  .


Формула Меллина.


Её знал ещё Риман:


(24)


Операторный вывод ее совсем короткий. Воспользуемся тем, что

в области, где F(z) является аналитической функцией.

При действии на exp(zt) ряда по степеням функция exp(zt) проходит налево, заменяя каждый оператор на z . Для дельта-функции возьмем разложение в интеграл Фурье:


, где


Поэтому





Действия довольно смелые, на инженерном уровне строгости, но, как это обычно и бывает с дельта-функцией, сразу приводят к нужному результату. Здесь - любое вещественное число, такое, что F(z) является аналитической функцией без особенностей при . Интеграл понимается в смысле главного значения.


Произведение оригиналов.


Пусть f(t)=F()(t) и g(t)=G()(t). Получим операторное представление их произведения. Выражая f(t) по формуле Меллина, получаем:





Экспоненту exp(zt) перед дельта-функцией в выражении справа можно опустить, так как она равна единице при t=0 . Окончательно имеем:





Фундаментальное тождество.






Его можно усмотреть в теореме смещения:


,


если выписать перед множитель , который ни на что не влияет, если разложение ведется по оператору интегрирования.

С помощью этого тождества можно вывести большинство формул разделов 2 и 3,которые были выведены традиционным для математического анализа способом. Новый способ иногда более краток, и к тому же более характерен для операционного исчисления. Например,










и т.д.


4. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


Этот раздел отдадим уравнению


, , ,

где параметры, а - известная функция. Будем считать, что p и q не равны нулю одновременно (в этом случае решение уравнения y’’=f(t) мы уже знаем). Проведем корректировку уравнения:

,

Подставим отсюда штрихованные производные в уравнение, перенеся в правую

  1   2

Похожие:

Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconКнига также подходит людям, не имеющим непосредственного опыта управления. Именно таким людям необходимо знать, что такое менеджмент, что с ним делать и чего от него ожидать. На все эти вопросы можно найти ответы в данной книге
Но, возможно, нет другой области деятельности человека, где разрыв между знаниями и эффективностью работы лидеров и знаниями и эффективностью...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconМатериал к презентации «Германия 1945 1970 гг.»
Кроме того Германия перестала существовать как независимое государство, она была оккупирована. Часть её территорий отторгнута. Это...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconДетские рассказы
Кроме того и колода карт была неполная, что также затрудняло игру. Старшей картой в той колоде была дама пик. Братья долго не могли...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconВопросы по математической логике и теории алгоритмов (автф, ам-210, III семестр)
Формальные исчисления. Вывод в исчислении. Теорема исчисления. Разрешимые и непротиворечивые исчисления
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconКурсовая работа
В истории русской литературы нет, пожалуй, темы более тяжелой и печальной, чем отлучение Льва Николаевича Толстого от Церкви. И в...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconОт упражнения к спектаклю
А учтем при этом, что живем то мы не где-то, а в России, поэтому, уж если понравилось, то яростно, на всю жизнь, а если нет… На нет...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconБаз данных экзаменационных заданий и их решений, а также любой другой информации, знание которой прямо или косвенно проверяется на экзамене
...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconКонкурсная работа «Наша общая память: история в лицах» «Знаменитые люди Немчиновки» историческое
России по- своему уникальна. Пожалуй, нет такого места в нашей стране, где бы не встречались незаурядные личности, которых спустя...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconР. В. Енгибарян д ю. н., профессор
Идея эта была сформулирована во французской Декларации прав человека и граж­данина 1789 г.: «Общество, где не обеспечена гарантия...
Пожалуй, нет другой области математики, кроме операционного исчисления, девизом и целью которой была простота и краткость решений, где не накопилось бы такое iconИсторическая справка. Русские (самоназвание), крупнейший по численности народ в России. Русские говорят на языке восточнославянской подгруппы славянской группы
Оттого изба, в которой жило семейство славянина, имела для него великое значение. Как место, свидетельствующее о быте предков, изба...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница