Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их




Скачать 125.76 Kb.
НазваниеТемы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их
Дата09.10.2012
Размер125.76 Kb.
ТипДиплом
ТЕМЫ ДИПЛОМНЫХ РАБОТ (2012-2013 учебный год)

Профессор Никитин Я.Ю.

1.Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их вариантах.

Обычно асимптотическая эффективность классических критериев типа Колмогорова-Смирнова или Крамера-фон Мизеса вычисляется при стандартных альтернативах сдвига, масштаба и загрязнения. Значительный интерес представляет вычисление и анализ локальных эффективностей при иных альтернативах, например, при скошенных альтернативах, интенсивно изучавшихся Аззалини, Гентоном, Арнольдом и другими. В последние годы появились усложнения и обобщения скошенных альтернатив. В дипломной работе предполагается вычислить локальные эффективности указанных критериев для новых альтернатив и попытаться разработать обобщение этой задачи.

Для ориентировки:

Durio A., Nikitin Ya.Yu. Local asymptotic efficiency of some goodness-of-fit tests

under skew alternatives. Journ. of Statist. Plann. and Inference, 115(2003), N 1,171-

179.


2.Критерии согласия, основанные на мартингальной части эмпирического процесса.

Многие статистики для проверки согласия являются функционалами от эмпирического процесса или его усложнений, например, эмпирического процесса со случайным индексом или проинтегрированного процесса. Эмпи­рический процесс не является мартингалом, но из него можно извлечь «мартингальную часть», что было с успехом осуществлено грузинским (а ныне новозеландским) математиком Э.В.Хмаладзе лет 30 назад. Новый процесс слабо сходится уже не к броуновскому мосту, а к броуновскому движению. Фор­ма его сложнее, но внутренняя структура проще. Этот прием был под­хвачен в разных областях статистики.

Предполагается разобраться в технике Хмаладзе и попытаться выделить мартингальную часть из более сложных эмпирических процессов. В перспективе это должно привести к построению новых критериев согласия с пока неизвестными свойствами.

Для ориентировки:

Э.В. Хмаладзе,“Некоторые применения теории мартингалов в статистике”, Успехи математических наук, 37: 6, 1982, 193–212.


Профессор Лифшиц М.И.

1.Предельные теоремы в модели системы телетрафика и ее многомерных аналогах

Целью работы является изучение разнообразных предельных теорем теории вероятности на примере единой прикладной задачи - изучения процесса нагрузки на узел обслуживания в телекоммуникационной системе за длительный интервал времени. В зависимости от моментных характеристик случайных величин, описывающих процессы обслуживания, могут возникать различные предельные режимы: винеровский процесс, дробное броуновское движение, устойчивый процесс с независимыми приращениями, а также некоторые специальные "телеком-процессы". За основу должна быть взята статья Кая и Такку, результаты которой могут быть развиты и дополнены.

По данной теме могут быть выполнены две дипломных работы.

Литература:

Kaj I., Taqqu M. (2008) Convergence to fractional Brownian Motion and to the Telecom process: the integral representation approach. In: "In and out of Equilibrium". II., ser.: Progress in Probability, vol.60, 383-427.

Kaj I., Leskela L., Norros I., Schmidt V. (2007) Scaling limits for random fields with long-range dependence, Annals of Probability, vol.35, 528-550.

М.А. Лифшиц. (2009) Материалы спецсеминара по теории вероятностей. Рукопись. СПбГУ.


Профессор Невзоров В.Б.

1. Рекордные значения площадей

Имеется большое число работ, связанных со свойствами различных рекордных величин (см., например, книги [1] и [2]). Предлагается изучить методы, используемые в теории рекордов, и применить эти методы для решения некоторых проблем.

Нужно будет рассмотреть прямоугольники , длины сторон которых являются положительными случайными величинами (ξ1, η1), (ξ2, η2), … . В последовательности площадей этих прямоугольников S1= ξ1η1 , S2= ξ2η2 ,… выделяются рекордные значения

S(1), S(2),…. Нужно исследовать асимптотическое поведение этих рекордных величин и рассмотреть поведение соответствующих этим рекордам длин сторон ξ (n) и η (n). В качестве исходной можно рассмотреть ситуацию, когда длины сторон независимы и имеют равномерное U([0,1]) или экспоненциальное E(1) распределение.

Литература

[1] В.Б. Невзоров. Рекорды. Математическая теория. Изд-во ФАЗИС, Москва, 2000.

[2] B.C. Arnold, N. Balakrishnan, H.N. Nagaraja. Records. Wiley, New York, 1998.


2. Некоторые новые варианты задачи оптимального выбора

В классической задаче оптимального выбора (“задаче о разборчивой невесте”) последовательно наблюдаются значения случайных величин X1,X2,…,Xn. Исследуются стратегии, позволяющие с максимальной вероятностью определить тот индекс m, которому соответствует значение Xm= max{ X1,X2,…,Xn}, т.е. из n последовательно приходящих претендентов нужно попытаться выбрать лучшего (возвращаться к ранее отвергнутым не разрешается).

Предлагается рассмотреть некоторые новые версии этой задачи. Например, исследовать ситуацию, когда требуется выбрать не одного, а двух лучших претендентов. В классической постановке случайные величины X1,X2,…,Xn одинаково распределены. Можно рассмотреть некоторые варианты, когда это условие нарушается.

Литература

В.Б. Невзоров. Рекорды. Математическая теория. Изд-во ФАЗИС, Москва, 2000.


Профессор Петров В.В.

1.Оценки функции концентрации суммы независимых случайных величин.

Предполагается дать обзор ряда известных результатов в этой области и попытаться решить задачи, которые будут поставлены руководителем.

Вводная литература: В.В.Петров, Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, М. 1987, глава 3, параграфы 1 и 2.


Профессор Фролов А.Н.

1. Предельные теоремы для приращений обобщенных процессов восстановления.

Пусть (X,Y), (X_1,Y_1), (X_2,Y_2), … -- последовательность н.о.р. случайных векторов,

EX > 0 и Y>0 п.н. (X и Y могут быть зависимыми.) Определим обобщенный процесс восстановления соотношением Z(t) = X_1+…+X_N(t), где N(t)=max{n: Y_1+… +Y_n <= t}, t >= 0,-- процесс восстановления.

Ранее руководителем было исследовано асимптотическое п.н. поведение приращений обобщенных процессов восстановления. Были получены универсальные сильные предельные теоремы для приращений процессов восстановления, объединяющие закон больших чисел, закон Эрдёша--Реньи, законы Чёргё--Ревеса и закон повторного логарифма для таких процессов.

В дипломной работе предлагается продолжить это исследование.

2. Предельные теоремы для больших уклонений итерированных процессов.

Рассмотрим два независимых случайных процесса X(t) и Y(t)>0, t>0, заданных на одном вероятностном пространстве. Случайный процесс X(Y(t)), t>0, называется итерированным процессом.

Ранее руководителем была найдена логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений некоторых итерированных процессов. Было показано, что при определенных условиях эта асимптотика совпадает с асимптотикой больших уклонений

сумм независимых случайных величин. При нарушении этих условий асимптотика больших уклонений итерированных процессов становится другой. В том случае, когда итерированный процесс получен случайной заменой времени из однородного процесса с независимыми приращениями с конечной дисперсией, было исследовано поведение логарифмов больших и умеренных уклонений. При этом рассмотрены следующие односторонние моментные ограничения: условие Крамера, условие Линника,

существование момента порядка p>2 положительной части.

В дипломной работе предлагается продолжить это исследование.


Профессор Бородин А.Н.

1.Распределение функционалов от броуновского движения, остановленного в случайные моменты времени.

Предлагается развить известные теоретические результаты о вычислении распределений функционалов от диффузий со скачками на случай, когда диффузии останавливаются в случайные моменты времени, полученные из классических моментов с помощью операций максимума и минимума.


Профессор Зайцев А.Ю.

1. Точность сильной гауссовской аппроксимации для сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов

Точность сильной гауссовской аппроксимации для сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов обычно оценивается в двух следующих различных, но тесно связанных ситуациях. Оценивание точности сильной аппроксимации в принципе инвариантности может быть сведено к этим задачам.

(A) Требуется построить на одном вероятностном пространстве последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов X,X1, X2,… (с заданными распределениями, E|X|2 < ∞, EX=0) и последовательность независимых гауссовских случайных векторов Y,Y1, Y2,… таким образом, чтобы |Σj=1n Xj – Σj=1n Yj| = O(f(n)) или o(f(n)) почти наверное, для последовательности f(n), стремящейся к бесконечности как можно медленнее.

(B) Требуется построить на одном вероятностном пространстве последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов X,X1,… ,Xn (с заданными распределениями) и последовательность независимых гауссовских случайных векторов Y,Y1,… ,Yn таким образом, чтобы величина Dn(X,Y)=maxk Σj=1k Xj – Σj=1k Yj| была бы по возможности мала с достаточно большой вероятностью.

Существуют аналоги задач (A) и (B) для неодинаково распределенных случайных векторов.

В последние годы достигнут существенный прогресс в решении задач (A) и (B) в многомерном случае. Однако осталось некоторое количество нерешенных вопросов. В дипломной работе предлагается изучить эти вопросы и попробовать получить продвижение в их решении.

Литература

1. Зайцев А.Ю. Оценки точности сильной аппроксимации в многомерном принципе инвариантности. Записки научных семинаров ПОМИ, 2006, т. 339, с. 37-53.

2. Зайцев А.Ю. Оценки точности сильной гауссовской аппроксимации сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов. Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 351, с. 141-157.

3. Götze F., Zaitsev A.Yu. Bounds for the rate of strong approximation in the multidimensional invariance principle. Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, 1, с 100-123.

4. Зайцев А.Ю. Точность сильной гауссовской аппроксимации для сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов. Записки научных семинаров ПОМИ, 2009, т. 364, с. 148–165.

5. Гётце Ф., Зайцев А.Ю. Точность аппроксимации в многомерном принципе инвариантности для сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов с конечными моментами. Записки научных семинаров ПОМИ, 2009, т. 368, с. 110–121.

Доцент Ананьевский С.М.

1. Различные задачи случайного размещения интервалов на отрезке

В данной теме предполагается изучать различные процессы случайного заполнения отрезка интервалами, провести описание этих процессов и их некоторых свойств.

Исходным процессом в данной теме послужил хорошо известный процесс “парковки”, описанный в работе Реньи 1958 года. Позже подобными задачами занимались Ней, Шепп, Роббинс и Дворецкий, Мэнион и другие математики.

Литература у руководителя.


Доцент Гордин М.И.

1.Универсальность локального поведения собственных чисел для матричных ансамблей компактного типа

Для случайных эрмитовых (или симметрических, или симплектических) матриц с гауссовыми независимыми (с точностью до ограничений, связанных с эрмитовостью (симметричностью, симплектичностью)) элементами известно, что при неограниченном росте размера матрицы локальное распределение собственных чисел в пределе задаётся так называемым детерминантным точечным случайным процессом, определяемым ядром sin(x-y)/(x-y). Эта предельная теорема распространена на многие другие классы случайных матриц. В дипломной работе нужно будет доказать подобную теорему для случайных матриц, распределение которых получается из гауссовского наложением некоторого условия, определяющего компактное подмножество в пространстве матриц, и переходом к соответствующему условному распределению.

Сведения о литературе и дальнейшие подробности могут

высланы по запросу.

Михаил Иосифович Гордин e-mail: gordin@pdmi.ras.ru

Доцент Грибкова Н.В.

1.Вероятности больших уклонений для L-статистик с разрывной весовой функцией

Теория предельных теорем о больших уклонениях хорошо развита в случае сумм независимых случайных величин. Вместе с тем существует сравнительно немного работ, посвященных асимптотике вероятностей больших уклонений для L-статистик.

Пусть  -- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, , -- порядковые статистики, соответствующие первым n элементам последовательности. L-статистики – это сокращенное название линейных функций порядковых статистик: , где , обычно определяют при помощи весовой функции J по одной из формул или  i=1,…,n. В дипломной работе предполагается изучение литературы по вероятностям больших уклонений для L-статистик и получение новых результатов в ситуации, когда весовая функция J(u), u є (0,1), является разрывной

ЛИТЕРАТУРА:

[1] H. Boistard, Large deviations for L-statistics. Statistics & Decisions: 2007, Vol. 25, Issue 2, pp. 89-125.

[2] Бенткус В.,, Зитикис, Р. Вероятности больших уклонений для L-статистик // Литовский матем. сборник, 1990. Т. 30, № 3. P. 479-488.

[3] Алешкявичене А. К. О больших уклонениях для линейных комбинаций порядковых статистик // Литовский матем. сборник. 1989. Т. 29, № 2. С. 212-222.

[4] Callaert H., Vandemaele M., Veraverbeke N . A Cramer type large deviation theorem for trimmed linear combinations of order statistics // Commun. Statist.-Theor. Meth. 1982. 11(23), P. 2689-2698.

[5] Борисов И.С., Бакланов Е.А. Моментные неравенства для обобщенных L-статистик // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 483-489.

[6] Борисов И. С., Бакланов Е.А. Вероятностные неравенства для обобщенных L-статистик // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 258-274.

[7] Mason D.M., Shorack G.R. Necessary and sufficient conditions for asymptotic normality of L-statistics // Ann. Probab. 1992. V. 20, N 4. P. 1779-1803.

2.Оценки точности нормальной аппроксимации для слегка усеченных сумм

Пусть  -- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, , -- порядковые статистики, соответствующие первым n элементам последовательности. Слегка усеченной суммой называется статистика вида , где  , ,  при . Необходимые и достаточные условия асимптотической нормальности распределения должным образом нормированной с.в.  были найдены в работе [1]. В статье [2] получены оценки скорости сходимости к нормальному закону типа Берри – Эссена для широкого класса статистик вида , где  – симметричная функция  переменных.

В дипломной работе предлагается изучить статьи [1], [2] и применить метод из статьи [2] для получения оценок скорости сходимости к нормальному закону распределения .

ЛИТЕРАТУРА:

[1]. Csörgő. S, Haeusler E and Mason D. The asymptotic distribution of trimmed sums . – Annals of Probability, 1988, v. 16, p. 672-699.

[2]. Van Zwet, W.R. A Berry – Esseen bound for symmetric statistics . – Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 1984, v. 66, p. 425-440.


Доцент Малов С.В.

1.Анализ результатов множественных тестов.

При поиске генетических последовательностей или мутаций, влияющих на восприимчивость организма к некоторой болезни («сигналов»), проводится огромное множество тестов, многие из которых показывают значимое отклонение от независимости по чисто случайным причинам. Для выявления «сигналов», ответственных за течение болезни, в случае небольшого их числа можно использовать так называемую поправку Бонферрони, гарантирующую, что вероятность выявления хотя бы одного ошибочного «сигнала» не превышает наперед заданного уровня. Также, иногда используют более слабую локальную вероятность ошибки (FDR-false discovery rate), которая ограничивает вероятность ошибки в каждом отдельном тесте. Для независимых тестов можно использовать поправку Данна–Шидака, но в случае малого числа «сигналов» она практически не отличается от поправки Бонферрони. Тем не менее, при наличии зависимых определенным образом тестов эффективность имеющихся методов может быть увеличена.

В рассматриваемой ситуации имеющиеся данные представляются в виде множества таблиц сопряженности, по которым строятся статистики асимптотических критериев. Для выявления зависимости статистик критериев можно использовать полную информацию по каждому индивиду. Требуется изучить основные методы распознавания «сигналов», а также методы задания многомерных дискретных распределений с бинарными компонентами, и описать зависимости между статистиками критериев в терминах многомерных дискретных распределений наблюдений. Полученные результаты можно будет применить для повышения эффективности методов выявления «сигналов» по множественным тестам.

Данная задача инициирована реальными исследованиями генома человека, проводимыми в Центре геномной биоинформатики им. Ф.Г. Добржанского при Биолого – Почвенном факультете СПбГУ.

Литература.

Benjamini, Y. & Hochberg, Y. (1995) Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing. J.R.Statist.Soc. B, 57,289–300.

Donoho, D. & Jin, J. (2004) Higher criticism for detecting sparse heterogeneous mixtures. The Annals of Statistics 32(3), 962 – 994.

Holm, S. (1979) A simple sequentially rejective multiple test procedure. Scand J. Statist 6, 65-70.

Storey, J.D. (2002) A direct approach to false discovery rates. J.R.Statist.Soc. B, 64, 479 – 498.

Ip, E.H. & Wang, Y.J. (2003) A Strategy for Designing Telescoping Models for Analyzing Multiway Contingency Tables Using Mixed Parameters. Sociological Methods Research 31; pp. 291-324.

Ip, E.H. & Wang, Y.J. (2009) Canonical representation of conditionally specified multivariate discrete distributions. Journal of Multivariate Analysis 100, pp. 1282-1290.

Доцент Валландер С.С.

1.Модификации пуассоновских процессов.

Доцент Русаков О.В.

1. Исследование спектральных свойств пуассоновских субординаторов для некоторых стационарных последовательностей

В качестве подчиняющих последовательностей предлагается рассмотреть приращения дробного броуновского движения, взятые в целых точках, для всех значений коэффициента Харста. Пуассоновский субординатор будет обладать свойством стационарности, причём, время для него будет непрерывным. Предлагагается исследовать спектральные характеристики полученного стационарного процесса методом компьютерного моделирования, выявить те, или иные, закономерности. Осуществить попытки доказать аналитически выявленные закономерности.


Доцент Солев В.Н.

1.Оценивание функции, наблюдаемой на фоне стационарного шума с неизвестной спектральной плотностью.

Рассмотрим регрессионную модель dY(t)=S(t)dt+dX(t), 0≤t≤1.

Здесь S(t) – неизвестная гладкая функция, подлежащая оцениванию, X(t) – гауссовский процесс со стационарными приращениями с нулевым средним и корреляционной функцией, определенной с точностью до конечного числа неизвестных параметров. Предлагается в некоторой конкретной ситуации (определен вид спектральной плотности процесса X(t)) рассмотреть задачу оценивания неизвестной функции S(t).

Похожую задачу можно найти в работе “General model selection estimation of a periodic regression with a Gaussian noise”, Victor Konev, Serguei Pergamenchtchikov (Annals of the Institute of Statistical Mathematics 62 (2010), 1083 - 1111).


Доцент Якубович Ю.В.

1.Λ- и Ξ-коалесцент.

Предлагается разобрать модель динамики на разбиениях натуральных чисел, которая возникает при изучении задач математической генетики, и ответить на ряд вопросов.

Лит-ра: N. Berestycki. Recent progress in coalescent theory. Ensaios Matematicos, Vol. 16,

1—193 (2009).



Похожие:

Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconТемы курсовых и дипломных работ кафедры журналистики на 2012-2013 учебный год (исследовательские работы)
Распространение информации через традиционные и новые медиа: сравнительный анализ (на примере…)
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconТемы курсовых и дипломных работ кафедры теории вероятностей на 2008/2009 учебный год Зав кафедрой, чл корр. Ран, профессор Ширяев А. Н
Случайные блуждания, броуновское движение, фрактальное броуновское движение распределения вероятностей разнообразных функционалов,...
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconПлан работы гбоу нпо пу №79 г. Челябинска на 2012-2013 учебный год
Основные задачи на 2012—2013 учебный год
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconД. Добрунь Об утверждении перечня учебников на 2012-2013 учебный год
Утвердить перечень учебников для использования в образовательном процессе мбоу «Лицей №1 Брянского района» на 2012-2013 учебный год...
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconТемы курсовых работ на 2012-2013 учебный год Заика Юрий Васильевич, д ф. м н., проф
Не все привычные свойства сохраняются, но появляются и новые. В курсовой работе предлагается сделать краткий обзор теории функций...
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconКалендарно-тематическое планирование на 2012-2013 учебный год
Областного базисного учебного плана начального общего образования общеобразовательных учреждений Челябинской области на 2012-2013...
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconАтласы, контурные карты 2012/2013 учебный год график выдачи
На 2012/2013 учебный год учебники для 1-11 классов и рабочие тетради для 1-х классов выдаются бесплатно
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconУчебники на 2012/2013 учебный год
Учебники на 2012/2013 учебный год. Все учебники указанных авторов действительны с 2008 года издания
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconПлан работы школы на 2012-2013 учебный год Единая методическая тема
Семинар «Эффективность использования электронных сервисов: электронный журнал, электронный дневник»
Темы дипломных работ (2012-2013 учебный год) Профессор Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность критериев согласия при скошенных альтернативах и их iconМбоу «Змиёвская средняя общеобразовательная школа» пояснительная записка к учебному плану на 2012 – 2013 учебный год
Учебный план мбоу «Змиёвская средняя общеобразовательная школа» на 2012-2013 учебный год разработан на основе федерального базисного...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница