Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика




Скачать 185.61 Kb.
НазваниеАннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика
Дата08.10.2012
Размер185.61 Kb.
ТипДокументы
Уральский государственный университет им. А.М. Горького

Математико-механический факультет


Аннотация магистерской программы по направлению

Математика. Прикладная математика.


511207 – Вычислительная математика


Характеристика научно-исследовательской деятельности по заявленной магистерской программе.

Исследования проводятся на кафедре вычислительной математики совместно с сотрудниками института математики и механики УрО РАН.

Имеются несколько направлений.

Область исследования алгоритмов решения некорректных задач и их приложений возглавляют член-корреспондент РАН, профессор Васин В.В. и доктор физико-математических наук Агеев А.Л.

В области разработки численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений и их приложений исследования возглавляет заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор Пименов В.Г.

В области разработки алгоритмов решения обратных задач математической физики исследования возглавляет доктор физико-математических наук, профессор Короткий А.И.

Сотрудниками кафедры ведутся также исследования в области разработки алгоритмов оптимального управления, математического моделирования

задач физиологии сердечной мышцы и иммунологии, создания программного обеспечения. Исследования поддерживаются рядом грантов.


Родственные научные специальности аспирантуры УрГУ

  1. 010102 “Дифференциальные уравнения”

  2. 010107 - "Вычислительная математика"

- 051318 “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ”.

Имеются советы в УрГУ и ИММ УрО РАН по защитам кандидатских и докторских диссертаций по указанным специальностям.


Научный руководитель Васин Владимир Васильевич, член-корреспондент РАН, д.ф.-м. наук, профессор кафедры вычислительной математики.

Васин В.В. окончил математико-механический факультет УрГУ в 1966

году по специальности “Математика”. Доктор физико-математических наук (1985), профессор (1991), чл-кор. РАН, зав. отделом института математики и механики УрО РАН. Работает в УрГУ с 1985 года, с 1988 года является профессором кафедры вычислительной математики. Успешно ведет научную работу в области исследования алгоритмов решения некорректных задач и их приложений. Под руководством В.В.Васина выполнено ряд исследовательских и прикладных задач, под его руководством защищены три кандидатские диссертации.


ДИСЦИПЛИНЫ ОБЩИЕ ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЯ


  1. Математический анализ КМАиТФ

  2. Дифференциальные уравнения (дополнительные главы) – КВМ и КМФ

  3. Оптимальное управление – КПМ


Учебный план специализированной подготовки магистров

по программе "Вычислительная математика"


1. Учебно-научный семинар 284

2. Методы решения некорректных задач 300

3. Разностные методы решения задач математической физики 100

4. Численные методы решения функционально-дифференциальных

уравнений 100

5. Методы локализации особенностей и обработка изображений 100


Итого 884 часа (трудоемкость)


Примечания.

1. Учебно-научный семинар кафедры вычислительной математики объединяет магистрантов по магистерским программам "Компьютерное и математическое моделирование", "Вычислительная математика", аспирантов по специальностям "Вычислительная математика", "Дифференциальные уравнения", "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ". На семинаре заслушиваются как доклады, посвященные новейшим в мире результатам в этих областях наук, так и собственные исследования магистрантов и аспирантов по магистерским и кандидатским диссертациям.

2. Программы курсов прилагаются.


Программа курса

Методы решения некорректных задач

Автор - чл.кор. РАН, д.ф.-м.н, профессор В.В.Васин

(три семестра)


Часть I. Линейные модели и выпуклая минимизация

Примеры неустойчивых задач. Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), численное дифференцирование и задачи восстановления функций, экстремальные задачи для выпуклого функционала, линейные интегральные уравнения типа свертки, Вольтерра и Фредгольма I--го рода, неклассические задачи математической физики, задачи томографии, обратные задачи для дифференциальных уравнений.

Понятие некорректно поставленной задачи. Две основные постановки: решение уравнения и задача вычисления значений неограниченного оператора. Корректность по Адамару, Тихонову и Фикера. Множества корректности. Лемма Хаусдорфа и её обобщения в линейном случае.

Понятие плохо и хорошо обусловленных задач (на примере задачи решения СЛАУ)

Мера обусловленности СЛАУ. Анализ погрешности вычислений. Число обусловленности: свойства и способы вычисления (оценки). Обусловленность СЛАУ и устойчивость обратных матриц. Матрица Гильберта и другие примеры.

Обобщенные решения (на примере задачи решения СЛАУ) Обобщение понятия решения. Псевдорешение. Анализ метода наименьших квадратов. Регулярный метод нахождения псевдорешения. Метод регуляризации Тихонова.

Методы регуляризации (на основе итерационных алгоритмов и сингулярного разложения) Двойственные вариационные методы и итерационные процессы для решения

плохо обусловленных СЛАУ. Метод сингулярного разложения и его регуляризация. Итерационное уточнение решения и числа обусловленности. Тактика решения плохо обусловленных СЛАУ и анализ программных средств.

Понятие оптимального метода регуляризации Задача об оптимальном регуляризаторе при вычислении значений неограниченного оператора. Оценка погрешности.

Задача численного дифференцирования

Регулярные алгоритмы для задачи численного дифференцирования: конечно--разностные схемы в ,C(-, ) метод средних функций. Интерполяционные и сглаживающие сплайны. Абстрактные сплайны. Сравнительный анализ эффективности различных методов численного дифференцирования.

Задачи на экстремум

Постановка задачи на экстремум функционала. Корректность по Адамару и Тихонову и их взаимосвязь. Достаточные условия корректности по Тихонову. Регуляризация с точными и приближёнными данными.

Регуляризация выпуклых проблем

Метод штрафных функций и регуляризация задачи выпуклого

программирования в общем случае.

Дискретная сходимость алгоритмов. Аппарат дискретной аппроксимации и дискретной сходимости. Достаточные условия сходимости дискретных аппроксимаций в задачах оптимизации.

Конечномерная аппроксимация РА. Приложение к вариационному исчислению: обоснование методов Ритца и Эйлера, конечно--разностного метода.

Уравнения I--го рода. Условия корректности операторных уравнений I--го рода. Уравнения, порождаемые интегральными операторами Фредгольма и Вольтерра и анализ их корректности. Уравнения с априорной информацией.

Регуляризация уравнений I--го рода. Тихоновская регуляризация некорректных задач. Методы регуляризации уравнений типа свертки. Итеративная регуляризация. Правила останова итераций. -процессы и их регуляризованные аналоги. Нелинейные итерационные процессы для решения задач с априорной информацией.

Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Конечномерная аппроксимация. Критерий сходимости. Приложения общей схемы: квадратурный метод, метод коллокации, проекционные методы. Теоремы сходимости. Методы саморегуляризации для уравнений Вольтерра.

Практические рекомендации. Сравнительный анализ эффективности регулярных численных методов решения интегральных уравнений 1 рода.


Часть II. Нелинейные математические модели

Примеры нелинейных неустойчивых проблем Операторные и интегральные уравнения I--го рода (задачи гравиметрии и оптики), задачи оптимизации выпуклого функционала, вариационные неравенства. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Взаимосвязь различных постановок.

Принцип неподвижной точки. Классические принципы неподвижной точки Банаха, Брауэра, Шаудера, Какутани. Принцип неподвижной точки Браудера для нерастягивающих отображений.

Применение принципа неподвижной точки для корректных задач. Основные классы нелинейных отображений и их взаимосвязь. Сходимость метода последовательных приближений (мпп) в корректном случае. Слабая сходимость итераций для псевдосжимающих отображений.

Метод корректирующих множителей. Регуляризация мпп с помощью корректирующих множителей. Подход Браудера--Гальперина и его обобщение.

Приложение к задачам математического программирования. Регуляризация методов математичекого программирования (prox--метод, метод проекций градиента, фейеровские процессы для систем выпуклых неравенств).

Приложение к линейным уравнениям. Итерационные процессы для решения линейных некорректных задач с априорными выпуклыми ограничениями.

Принцип итеративной регуляризации. Итеративно регуляризованный мпп и его приложения. Подход Поляка--Бакушинского.

Приложение принципа итеративной регуляризации. Итеративно регуляризованный метод Ньютона--Канторовича с монотонным оператором. Регуляризованные варианты метода Гаусса--Ньютона. Регуляризующие свойства процессов Манна для монотонных операторов.

Методы регуляризации спектральных проблем Определение L--базиса ядра линейного оператора. Устойчивые методы его нахождения.

Некоторые коэффициентные обратные задачи Обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, обратные коэффициентные задачи для уравнений в частных производных: проблема единственности решения.

Методы решения нелинейных уравнений с априорной информацией. Модификация методов итеративной регуляризации с помощью фейеровских отображений. Приложения.

Понятие субградиента и субдифференциала. Задача негладкой минимизации выпуклого функционала. Итерационные процессы субградиентного типа.

Явные итерационные процессы решения нелинейных уравнений I-го рода Теоремы сходимости для методов Ландвебера, методов наискорейшего спуска и минимальной ошибки. Анализ опыта решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, возникающих в обратных задачах естествознания.


Часть III. Монотонные процессы в полуупорядоченных пространствах

Аксиоматика полуупорядоченных множеств и пространств. Примеры множеств и пространств.

Общий метод построения конуса. Примеры конусов.

Нормальный конус. Критерии нормальности конуса.

Правильные и вполне правильные конусы. Их взаимосвязь.

Миниэдральные и сильно миниэдральные конусы.

Теорема существования решения операторного уравнения 2-го рода на порядковом интервале.

Достаточные условия отображения оператором порядкового интервала в себя.

Теорема сходимости парного итерационного процесса для уравнения 2-го рода и следствия из нее.

Примеры сходимости парного процесса для систем линейных уравнений, интегральных и дифференциальных уравнений.

Итерационные процессы для монотонно разложимых операторов. Примеры.

Явные итерационные процессы для уравнений 1-го рода. Теорема сходимости.

Неявные итерационные процессы типа Ньютона-Чаплыгина.

Приложение процессов Ньютона-Чаплыгина к нелинейным уравнения Вольтерра

го рода.

Примеры нелинейных интегральных уравнений для самостоятельного численного решения.


Программа курса

Методы локализации особенностей

и обработка изображений

Автор – д.ф.-м.н А.Л.Агеев

(один семестр)


Примеры задач, приводящие к необходимости аппроксимировать (локализовать) особенности: спектроскопия, астрономия, биология, обработка изображений и т.д.

Постановка задачи для функций одной переменной. Задача локализации особенностей, как пример некорректно поставленной проблемы. Необходимость построения регуляризирующих алгоритмов. Простейшие модели ошибок во входных данных.

Примеры задач для функций одной переменной (точные постановки). Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода. Вывод уравнения “линейного смаза”.

Элементы теории обобщенных функций. Введение Соболевских пространств и пространства Шварца. Дифференцирование обобщенных функций.

Простейшие понятия теории регуляризации. Понятие регуляризирующего алгоритма. Задачи численного дифференцирования, сглаживания зашумленной функции и решение уравнений 1-го рода типа свертки.

Общий подход к сравнению алгоритмов в вычислительной математике. Сравнение методов интегрирования на классе функций, понятие оптимальной и оптимальной по порядку квадратур. Сравнение классических методов регуляризации по точности, понятия оптимальности и оптимальности по порядку.

Локализация изломов в C(-∞,∞). Конечно-разностный алгоритм, класс функций с изломами и получение оценок точности локализации изломов на этом классе, понятия оптимальности и оптимальности по порядку.

Новая характеристика метода локализации – порог разделимости метода. Для задачи локализации изломов в C(-∞,∞) вводятся понятия порога разделимости и Р-оптимальности (оптимальности по порядку).

Методы локализации особенностей. Усредняющие методы: локализация изломов в C(-∞,∞), разрывов первого рода в L2(-∞,∞), локализация положения δ-функций при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки. Получение оценок точности локализации и порога разделимости.

Оценки снизу для точности локализации и порога разделимости.

Задачи обработки радиолокационных и эхолокационных изображений. Простейшие постановки задач обработки радиолокационных и эхолокационных изображений. Эвристические алгоритмы.

Проблемы исследования алгоритмов локализации особенностей функций двух переменных. Два подхода к исследованию алгоритмов: исследование “в малом” и локализация параметрически заданных особенностей.


Программа курса

Дополнительные главы дифференциальных уравнений

Автор – д.ф.-м.н, профессор В.Г.Пименов

(один семестр)


Теорема существования решения дифференциального уравнения с измеримой правой

частью. Условия Каратеодори. Теорема о единственности решения. Теорема о продолжимости решения. Условие Уинтнера. Теорема существования и единственности

решения для линейных систем с интегрируемыми коэффициентами.

Линейные системы с периодическими коэффициентами. Теоремы Флоке. Эквивалентные системы. Теорема о приводимости. Матрица монодромии, мультипликаторы, характеристические показатели, показатели Ляпунова. Теоремы об устойчивости. Зоны устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. Уравнения Хилла и Матье. Параметрический резонанс.

Орбитальная устойчивость. Устойчивость периодических решений автономной системы. Теорема Андронова-Витта и её аналог для асимптотической орбитальной устойчивости. Критерий Пуанкаре орбитальной устойчивости.

Понятие предельного цикла. Автоколебания. Методика исследования предельных циклов на примере уравнения Ван-Дер-Поля: метод сечений Пуанкаре, метод стационарных приближений, метод малого параметра.

Бифуркации в широком смысле и бифуркации рождения цикла. Теорема Хопфа. Примеры мягкой и жесткой бифуркаций. Опасные и безопасные границы зон устойчивости.

Метод малого параметра – регулярные возмущения. Использование малого параметра в теории квазилинейных колебаний. Теория сингулярных возмущений. Одномерный случай. Теорема Тихонова. Сингулярные разложения. Метод усреднения Боголюбова.

Диссипативные системы и их аттракторы. Система Лоренца как пример странного аттрактора. Количественные показатели аттракторов. Дробная размерность. Гипотеза Каплана-Иорке. Аттракторы в разностном уравнении. Универсальность Фейгенбаума.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием, примеры моделей и классификация.

Теорема существования и единственности для функционально-дифференциальных уравнений. Другие обобщения дифференциальных уравнений.


Программа курса

Разностные методы решения

задач математической физики

Автор – д.ф.-м.н, профессор А.И.Короткий

(один семестр)


Понятие о разностных методах решения задач математической физики. Простейшие примеры. Исследование явной схемы для решения смешанной задачи Коши для уравнения теплопроводности элементарными методами. Построение решений разностных уравнений методом разделения переменных. Эффект "паразитных" гармоник с большими номерами.

Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными. Аппроксимация на решениях, зависимость степени аппроксимации от закона предельного перехода.

Классификация разностных схем.

Метод прогонки и его устойчивость. Метод матричной факторизации.

Устойчивость разностных схем. Теорема эквивалентности.

Методы исследования устойчивости в $C$. Теорема о принципе максимума.

Однородные операторы в пространстве скалярных функций. Собственные функции однородных операторов.

Достаточный критерий устойчивости в $L_2$ и его применения.

Схемы Кранка-Никольсона,Ричардсона и Дюфорта-Френкеля для уравнения теплопроводности.

Основные идеи метода дробных шагов. Методы продольно-поперечной прогонки, стабилизирующей поправки. Методы расщепления.

Метод приближенной факторизации.

Построение итерационных схем решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Применение метода дробных шагов.


Программа курса

Численные методы решения

функционально-дифференциальных уравнений

Автор – д.ф.-м.н, профессор В.Г.Пименов

(один семестр)


Типы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Математические модели систем с запаздыванием на примере моделей биологии и медицины.

Теорема существования и единственности начальной задачи для функционально-дифференциальных уравнений.

Численный метод Эйлера с кусочно-постоянной интерполяцией.

Способы интерполяции и экстраполяции предыстории дискретной модели.

Явные методы типа Рунге-Кутты.

Порядок невязки ЯРК-методов.

Автоматический выбор шага.

Методы RKF4(5) с интерполяцией вырожденными сплайнами и экстраполяцией продолжением.

Пакет TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX.

Неявные методы типа Рунге-Кутты.

Непрерывные методы Тавернини.

Многошаговые методы.

Многошаговые методы, не требующие разгона.

Классификация численных методов.

Общая схема численных методов решения ФДУ и ОДУ.

Достаточные условия сходимости с порядком в общей схеме.

Примеры вложения методов в общую схему.

Необходимые и достаточные условия сходимости с порядком в общей схеме.

Уравнения математической физики с запаздываниями.

Методы прямых для решения параболических и гиперболических задач с запаздыванием.

Сеточные методы для уравнения теплопроводности с запаздыванием.


Программа государственного экзамена

по магистерской программе

Вычислительная математика.

Функциональный анализ.


Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения. Компактные множества. Принцип сжатых отображений, метод последовательных приближений и их приложения. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении. Наилучшее равномерное приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора. Сходимость операторов. Обратимость. Ряд Неймана Ак и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора. Мера обусловленности линейного оператора и её применение при замене точного уравнения (решения) приближенным. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности, теорема Банаха-Штейгауза и её приложения. Теорема Рица (для гильбертова пространства). Спектр оператора. Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определённые, вполне непрерывные операторы и их спектральные свойства. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов, решения уравнений и их нахождения собственных значений методы Рица, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов. Дифференцирование нелинейных операторов, производные Фреше и Гато. Теоремы Фредгольма для уравнений с вполне непрерывным оператором, Теорема Гильберта-Шмидта.

Задачи математической физики.


Математические модели физических задач, приводящие к уравнениям математической физики; основные уравнения математической физики. Классические постановки задач для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов. Корректно и некорректно поставленные задачи. Метод Фурье.

Численные методы.


  1. Численные методы алгебры.

Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений с полными матрицами и матрицами специального вида. Одношаговые итерационные методы. Метод проекции градиента решения линейных систем. Применение методов регуляризации, минимизации сглаживающего функционала и итерационных методов для решения вырожденных несовместных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений и интегральных уравнений 1-го рода.

  1. Приближение функций.

Интерполяция сплайнами.


  1. Численное интегрирование.

Элементарные и составные формулы. Квадратурные формулы типа Гаусса.

  1. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.


Численные методы решения задачи Коши. Сходимость и устойчивость, оценка погрешностей. Понятие о жестких системах уравнений и методах их решения. Численные методы решения краевых задач. Метод разностной прогонки.

  1. Разностные и вариационно-разностные методы решения уравнений математической физики.

Основные понятия (аппроксимация, сходимость, устойчивость). Методы построения разностных схем (метод сеток, интегро-интерполяционный метод, метод аппроксимации интегральных тождеств, вариационно-разностные и проекционные методы); их применение для решения краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений. Оценка порядка точности. Дивергентные, консервативные разностные схемы. Двухслойные и трехслойные схемы; их устойчивость. Методы расщепления многомерных нестационарных задач. Понятие об экономичных методах решения многомерных задач.

Некорректные задачи.

Вариационные методы регуляризации. Итерационные процессы для линейных уравнений. Правила регулярного останова итераций при наличии погрешностей в исходных данных. Фейеровские процессы. Методы решения задач с априорной информацией. Вычисление значений неограниченного оператора. Оптимальные регуляризаторы. Оптимальные методы численного дифференцирования. Дискретная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Явление саморегуляризации для уравнений Вольтерра. Основные постановки нелинейных задач. Метод корректирующих множителей и его приложения. Итеративно регуляризованные методы последовательных приближений, Ньютона, Гаусса-Ньютона, Левенберга–Марквардта и методы градиентного типа.



Литература.


  1. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

  2. Владимиров В.С. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1981.

  3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

  4. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.

  5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

  6. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

  7. Годунов С.К., Рябенький. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

  8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы М.: Наука, 1979

  9. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978.

  10. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

  11. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1989.



Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры вычислительной математики УрГУ.


Зав. кафедрой

Д.ф.-м.н., профессор В.Г.Пименов

Похожие:

Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика 511202 Дифференциальные уравнения
Характеристика научно-исследовательской деятельности по заявленной магистерской программе
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы
Б4 по направлению подготовки бакалавров 010400 "Прикладная математика и информатика". Дисциплина реализуется на инженерно-экономическом...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы «Теория игр и исследование операций»
В. од. 1 учебного плана бакалавров по направлению специальности 010400 «Прикладная математика и информатика». Дисциплина реализуется...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconПрограмма вступительного экзамена «Вычислительная математика»
Государственным образовательным стандартом по направлению 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы
В. дв 1 математического и естественнонаучного цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная математика...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы «Стохастические модели и теория надежности»
Профессионального цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 – «Прикладная математика и информатика»....
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы дисциплины «Численные методы»
Профессионального цикла ( Б. 6) дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная математика и информатика....
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы
Теория вероятностей и математическая статистика» является вариативной частью Профессионального цикла дисциплин подготовки студентов...
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы дисциплины «Прикладной регрессионный анализ»
Профессионального цикла ( В. Од. 8) дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная математика и информатика....
Аннотация магистерской программы по направлению Математика. Прикладная математика. 511207 Вычислительная математика iconАннотация рабочей программы «Дискретная математика»
Дискретная математика принадлежит Базовой части Профессионального цикла дисциплин ( Б. 1) подготовки студентов направления 010400...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница