Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib




Скачать 130.56 Kb.
НазваниеMetoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib
страница4/4
Дата07.10.2012
Размер130.56 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4

Gambar 2.26.


D. Hasil Penelitian

Suatu upaya untuk melakukan generalisasi konstruksi persegi ajaib pada semua order adalah memodifikasi bentuk persegi ajaib yang telah ditemukan sebelumnya.

1. Operasi Skalar Persegi Ajaib

Misalkan A = [aij] adalah persegi ajaib berorder-n dan u sembarang bilangan. Jumlahan skalar A dengan bilangan u ditulis A + u atau u + A adalah persegi dengan elemen-elemen [aij + u] untuk semua i, j = 1, …. n. Sedangkan perkalian skalar A dengan bilangan u ditulis Au atau uA adalah persegi dengan elemen-elemen [uaij].

Operasi skalar pada persegi ajaib tidak mengubah sifat ajaib persegi, kecuali yang berubah adalah jumlah ajaibnya.

2. Konstruksi Strachey

Strachey (1918) mengemukakan suatu teorema keberadaan persegi ajaib berdasarkan persegi ajaib lain yang berorder lebih besar dari sebelumnya. Pengkonstruksian persegi ajaib ini didasarkan pada penambahan operasi penjumlahan skalar persegi ajaib.

Misalkan M himpunan semua bilangan bulat n sedemikian hingga ada persegi ajaib berorder n.


Teorema 1: (Strachey)

Jika uM, u ganjil maka 2uM .

Bukti:

Misalkan A adalah persegi ajaib berorder u = 2m + 1, m > 1.

Maka bilangan ajaib untuk persegi A adalah = . Bilangan ajaib yang dibutuhkan pada persegi ajaib berorder-2u adalah = 4u3 + u.

Persegi ajaib berorder 2u dari A dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1:

Susunlah bilangan-bilangan dalam bentuk persegi dalam empat blok area seperti dalam gambar 3.1 dibawah ini

A


A + 2u2

A + 3u2

A + u2

Gambar 3.1.

Langkah 2:

Lakukan perubahan persegi pada gambar 3.1 dengan mempertukarkan elemen-elemen yang seletak pada blok atas dengan blok bawah yang terarsir seperti pada gambar 3.2 di bawah ini. Sementara itu bilangan-bilangan pada baris atau kolom yang tidak terarsir biarkan tetap pada posisi semula.



Gambar 3.2

Analisis Kolom:

  • Pada gambar 3.1, jumlah elemen-elemen pada setiap kolom ke-1 sampai kolom ke-u adalah + = 4u3 + u.

  • Sedangkan jumlah elemen-elemen pada setiap kolom ke-(u+1) sampai kolom ke-u2 adalah ( + u2u2) + ( + uu2) = 4u3 + u.

Pada langkah 1 di atas terlihat bahwa jumlah elemen-elemen pada setiap kolom memenuhi jumlah bilangan ajaib yang diinginkan.


Analisis Baris:

  • Adanya pertukaran elemen-elemen pada langkah 2 di atas tidak mengakibatkan terjadinya perubahan jumlahan pada setiap kolom, sehingga jumlah bilangan-bilangan pada sembarang kolom adalah tetap.

  • Jumlah elemen-elemen pada baris ke-1 hingga baris ke-u adalah

{½(u3 + u) + m3u2} + {½(u3 + u) + (m + 1)2u2 + (m – 1)u2} = 4u3 + u.

  • Jumlah elemen-elemen pada baris ke-(u + 1) hingga baris ke-2u adalah

{½(u3 + u) + (m + 1)3u2} + {½(u3 + u) + (m + 1)u2 + (m – 1)2u2} = 4u3 + u.

Pada langkah 2 di atas terlihat bahwa jumlah elemen-elemen pada setiap kolom dan setiap baris memenuhi jumlah bilangan ajaib yang diinginkan.


Analisis Diagonal:

  • Pada langkah 2 jumlah elemen-elemen diagonal utama adalah {½(u3 + u) + (m + 1)3u2} + {½(u3 + u) + (m + 2)u2 + (m – 1)2u2} = 4u3 + u.

  • Sedangkan jumlah elemen-elemen diagonal kedua pada langkah ke-2 adalah

{½(u3 + u) + m 3u2} + {½(u3 + u) + (m + 2)2u2 + (m – 1)u2} = 4u3 + u.

Dengan demikian persegi yang telah dikonstruksi dengan langkah 1 dan langkah 2 di atas menghasilkan persegi ajaib berorder-2u. ■

Contoh :

Ambil persegi ajaib berorder u = 5, maka 10  M.

Bukti:

Misalkan dengan metoda De La Loubére diperoleh persegi ajaib

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

Gambar 3.3.

Langkah 1:

Buatlah persegi dengan memodifikasi dari persegi pada gambar 3.3 hingga dihasilkan persegi pada gambar 3.4. berikut:




Gambar 3.4.

Langkah 2 :

Lakukan pertukaran elemen-elemen pada arsiran blok atas dengan blok bawah diperoleh persegi ajaib berorder 10 dengan bilangan ajaib = 4u3 + u = 453 + 5 = 505 yaitu



Gambar 3.5.

3. Konstruksi Perkalian

Sebagai hasil dari keberadaan teorema 1 adalah semua bilangan genap yang mempunyai faktor ganjil pasti merupakan order persegi ajaib. Tetapi bilangan genap yang tidak mempunyai faktor ganjil harus dilakukan penyelidikan lebih lanjut. Untuk itu berikut ini dikemukakan operasi perkalian persegi yang akan dipergunakan untuk membangkitkan persegi ajaib dengan order lebih besar.

Misalkan A = [aij] adalah persegi ajaib berorder m dan jumlahan ajaib  = m(m2 + 1)/2, dan B = [bij] persegi ajaib berorder n dengan jumlahan ajaib = n(n2 + 1)/2. Perkalian dua persegi A dan B ditulis AB adalah persegi berorder-mn yang berbentuk

AB =

Jika A dan B keduanya adalah persegi ajaib maka jelas bahwa AB merupakan persegi ajaib juga yang berorder-mn dengan jumlahan ajaib . Hal ini secara formal dinyatakan dlam teorema berikut

Teorema 2:

Jika m, nM, maka mnM.

Bukti :

Jelas bahwa jumlahan semua elemen dalam tiap baris, kolom, atau diagonal adalah sama yaitu sebesar  = {m(m2 + 1)/2}{n(n2 + 1)/2} = mn(m2 + 1)(n2 + 1)/4 ■

Catatan :

Perkalian dua persegi ajaib tidak bersifat komutatif. Mesklipun keduanya menghasilkan persegi ajaib juga tetapi mungkin hasil kali ABBA dalam arti bentuk susunannya.

Contoh

Jika

A = , dan B = Maka AB =



Dengan berbekal informasi yang tertuang baik dalam bentuk observasi konstruksi maupun teorema formal, penelitian ini bermaksud mencoba mencari pembenaran bahwa untuk sembarang n  N, maka ada persegi ajaib berorder-n dengan satu perkecualian untuk n  2. Hal ini secara formal diberikan dalam bentuk teorema berikut.


Teorema 3 :

Untuk sembarang n  N, n  2 maka ada persegi ajaib berorder-n.

Bukti:

Misalkan M adalah himpunan bilangan-bilangan asli n untuk mana ada persegi ajaib berorder-n. Misalkan pula himpunan bilangan asli dipartisi menurut kongruensi bilangan modulo 4, sehingga setiap bilangan asli n akan kongruen dengan salah satu dari bilangan-bilangan 0, 1, 2, atau 3.

Dari survey dan penjelasan teorema sebelumnya diperoleh informasi bahwa

1). 1, 3, 4, 5, 6, 8  M (Dekomposisi Persegi latin dan konstruksi Benjamin Franklin)

2). 2n + 1  M, untuk semua n (Konstruksi De La Loubére)

3). 2(2n + 1) = 4n + 2  M untuk semua n (konstruksi Strachey)

4). Jika m, n  M, maka mn  M (konstruksi perkalian)

  1. Dari hasil 2). diketahui bahwa semua bilangan ganjil merupakan bilangan anggota M, sedangkan bilangan ganjil adalah kongruen dengan bilangan 1 atau 3 modulo 4. Jadi n  M untuk semua n  1, 3 (mod 4).

  2. Dari hasil 3). diperoleh kesimpulan n  M, untuk semua n  2 (mod 4), n  2. Sehingga jika digabung dengan a. diperoleh kesimpulan n  M untuk semua n  1, 2, 3 (mod 4).

  3. Andaikan n  0 (mod 4), n  0. Maka n = 4k = 4pq, q  0 (mod 4), q > 2. Menurut hasil b. haruslah q  M. Sedangkan berdasarkan hasil survey 1) dan 4) maka haruslah 4p  M. Dan sekali lagi menurut hasil 4) maka haruslah n = 4pq  M.

Dengan demikian terbukti bahwa semua bilangan asli n kecuali 2 ada persegi ajaib berorder-n. ■

E. Penutup

Penelitian ini telah berhasil mengobservasi keberadaan persegi ajaib pada order n sembarang dan n  2. Namun metoda yang telah dibahas hanya berlaku untuk persegi ajaib baku. Ini berarti upaya mengeneralisasikan suatu metoda konstruksi dapat dilanjutklan lagi. Pembaca yang berminat bisa melakukan penelitian serupa yang ditekankan pada keberadaan persegi ajaib yang melibatkan elemen-elemen lebih umum lagi. Menarik dipelajari pada kasus barisan geometri atau barisan dengan komposisi tertentu.

Suatu permasalahan terbuka adalah

  1. Jika diberikan n2 bilangan bulat yang berbeda secara sembarang tanpa diberikan pola, dapatkah mengkonstruksi persegi ajaib?

  2. Jika ada, sampai tingkat/order berapa persegi itu dapat dikonstruksi?

  3. Jika tidak ada, dengan mengurangi peryaratan ajaib seperti pada kasus persegi semi magic, dapatkah persegi ajaib dikonstruksi? Sampai order berapa?

DAFTAR PUSTAKA

Andrew, W. S., 1917, Magic Squares and Cubes, Open Court Pub. Co, Chicago.

Andrew, W. S., Sayles, 1913, The Monist 23, No. 4,.

Andrews, W.S., 1960, Magic Squares and Cubes, Dover.

Benson, W. H., Jacoby, O,. 1976, New Recreation with Magic Squares, Dover Publication, New York.

Cahyono, H., 2004, Formula Analitik Konstruksi Persegi Ajaib, Laporan Penelitian, DPP UMM, Malang

Cazalas, E., 1934, Carres Magiques Au Degre n, Series Numerales de G. Tary, Paris.

Chebrakov, Y. V., 2000, Smarandache Notions Journals, Vol !!. (1-2-3) 144

Chebrakov, Y. V., Shmagin, V. V., 1997, Smarandache Notions Journals, Vol 8. (1-2-3) 62

Denes, J., Keedwell, A. D., 1991, Latin Squares: New Developments in the Theory and Applications, North-Holland, Amsterdam.

Hilliard, J.N.. Kaufman and Greenberg, (1994). Greater Magic

Kreher, Donald L, 2004, http://www.math.mtu.edu/~kreher/ABOUTME/ talks/magicsquares.pdf

Laywine, C.F. and G.L. Mullen. (1998). Discrete Mathematics Using Latin Squares,

Lindner, C.C. and C.A. Rodger, 1977, Design Theory, CRC press.

Rouse Ball, W.W. and H. S. M. Coxeter Dover . (1987)., Mathematical Recreations and Essays

Smarandache, F., Paradoxist Mathematics, http://www.gallup.unm.edu/ ~smarandache


1   2   3   4

Похожие:

Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib iconAmprenta psiho-comportamentală metodă modernă de luptă Împotriva infracționalităȚII

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница