Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib




Скачать 130.56 Kb.
НазваниеMetoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib
страница3/4
Дата07.10.2012
Размер130.56 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4

2. Konstruksi Analitik Persegi Ajaib


2.1. Metoda Dekomposisi Persegi Latin

Meskipun metoda analitik dalam mengkonstruksi persegi ajaib hanya berlaku pada order tertentu, namun cara ini dipandang sebagai pembangkit keberadaan persegi ajaib selanjutnya yang berorder lebih besar. Akan dibahas eksistensi dan beberapa variasi metoda konstruksi persegi ajaib pada beberapa order yang diberikan.

a. Persegi Ajaib 3  3

Untuk mendekomposisi persegi ajaib berorder 3, atau n = 3, maka diperlukan huruf-huruf Latin a, b, c; dan huruf-huruf Yunani , , , di mana huruf-huruf Latin menjalani nilai-nilai 0, 3, 6 dan huruf-huruf Yunani menjalani nilai-nilai 1, 2, 3. Sekarang dimulai dengan huruf a, b, c, dan mudah untuk memasukkannya ke dalam 9 sel dari persegi dalam setiap baris dan kolom dari ketiga huruf yang terjadi. Sebagai contoh seperti pada gambar 2.1. di bawah ini:

a

b

c

b

c

a

c

a

b

Gambar 2.1

Terlihat bahwa dalam satu diagonal masing-masing huruf a, b, c muncul, tetapi dalam diagonal lain huruf yang sama c muncul tiga kali; dan mudah dilihat bahwa tidak mungkin terjadi semua ketiga huruf yang berbeda dalam kedua garis (diagonal) hanya sekali. Bagainamapun, hal ini tidak menyebabkan suatu masalah sepanjang diagonal 3c adalah sama dengan jumlah diagonal yang lain a + b + c; yaitu memberikan 2c = a + b. Dari hal ini, jelas bahwa c harus diambil nilai 3, dan huruf a dan b dikaitkan dengan nilai 0 atau 6; jadi itu akan menjadi 2c = a + b. Oleh karena itu akan menjadi mungkin untuk mengambil salah satu dari a = 0 atau b = 0 dan dari sini, jumlah masing-masing garis adalah a + b + c = 9.

Secara sama, huruf-huruf Yunani dapat didistribusikan dalam persegi order 3 dan kita dapat menyatakannya dalam gambar 2.2 dengan susunan terbalik dengan huruf Latin. :



















Gambar 2.2:

Dalam hal ini perlu dibatasi bahwa 2 = + , dan oleh karena itu haruslah = 2. Maka jika dikombinasikan secara alami masing-masing sel dari gambar 2.1 dengan masing-masing sel pada gambar 2.2 yang seletak akan terlihat bahwa masing-masing huruf Latin dikombinasikan dengan masing-masing huruf Yunani, sedemikian hingga mengkombinasikan semua bilangan dari 1 sampai 9; dan ini akan memberikan gambar 2.3. berikut:

a+

b+

c+

b+

c+

a+

c+

a+

b+

Gambar 2.3:

Dengan mengambil c = 3 dan = 2 pada gambar 2.3, maka huruf a dan b bernilai 0 dan 6, dan juga huruf dan bernilai 1 dan 3. Jika diandaikan bahwa a = 0 dan b = 6, dan = 1 dan = 3, maka diperoleh persegi ajaib seperti pada gambar 2.4. berikut ini :

2

9

4

7

5

3

6

1

8

Gambar 2.4:

Terlihat bahwa jumlah untuk masing-masing garis adalah 15. Jika nilai-nilai dari huruf a dan b dipermutasikan, dan demikian pula dan , jelas bahwa akan diperoleh suatu persegi ajaib baru.

b. Persegi Ajaib 4  4

Untuk menyususun persegi ajaib berorder 4 yaitu n = 4 dalam bentuk dekomposisi dua persegi Latin, dibutuhkan empat huruf Latin a, b, c, d dengan nilai-nilai 0, 4, 8, 12, dan juga empat huruf Yunani , , , dengan nilai-nilai 1, 2, 3, 4. Kemudian susun huruf-huruf Latin dalam bentuk persegi Latin.

Karena di sini tidak ada aturan menyusun keempat huruf a, b, c, d dalam baris pertama, maka masukkan mereka dalam urutan. Untuk mengisi elemen diagonal utama, pada sel kedua diagonal ini tempatkan huruf c atau d. Misalkan dipilih c, maka semua huruf akan terisikan pada diagonal utama, dengan memperhatikan huruf yang sama tidak boleh berada dua kali pada sembarang baris atau kolom. Dengan cara di atas maka dapat diperoleh susunan dalam gambar 2.8 berikut:

a

b

c

d

d

c

b

a

b

a

d

c

c

d

a

b

Gambar 2.8.

Jika diperhatikan masing-masing diagonal berisi keempat huruf, sehingga tidak ada persyaratan pendahuluan untuk nilai-nilai huruf a, b, c, d. Demikian juga apabila dalam tempat sel kedua diagonal utama diisikan d, gambar yang dihasilkan hanyalah kemungkinan bentuk susunan lain, sehingga dengan menggunakan gambar ini semua kemungkinan lain dapat diwakili.

Sekarang untuk memasukkan huruf-huruf Yunani, karena tidak ada baris atau kolom tengah yang diberikan, ambil diagonal utama a, c, d, b sebagai senter, dan tentukan hanya sekali dalam sel yang terletak pada sisi lain yang berjarak sama dua huruf yang berbeda. Oleh karena itu pertama tambahkan huruf-huruf Latin pada diagonal utama dengan huruf-huruf Yunani yang ekuivalen, dan kemudian kombinasikan huruf-huruf Yunani dengan ekuivalensi refleksinya yaitu: a dengan , b dengan , c dengan , d dengan . Dengan cara ini dapat diperoleh gambar 2.9. di bawah ini.


a+

b+

c+

d+

d+

c+

b+

a+

b+

a+

d+

c+

c+

d+

a+

b+

Gambar 2.9.

Dengan demikian persegi ajaib di atas telah didekomposisi atas dua persegi Latin, yaitu dalam huruf-huruf Latin dan Huruf-huruf Yunani, secara penuh dalam semua baris kolom dan diagonal tanpa adanya sejumlah pembatasan. Karena ada 4! = 24 variasi susunan empat huruf, maka secara bersama-sama ada 24  24 = 576 gambar persegi ajaib berbeda dapat dibentuk, dan beberapa dari bentuk yang dibuat dengan cara ini mempunyai bentuk yang benar-benar berbeda struktur.

c. Persegi Ajaib 5  5

Untuk menyusun persegi ajaib order 5 diperlukan lima huruf Latin a, b, c, d, e, dan lima huruf Yunani , , , , , yang menjalani nilai-nilai masing-masing 0, 5, 10, 15, 20 untuk huruf-huruf Latin, dan 1, 2, 3, 4, 5 untuk huruf-huruf Yunani. Kedua jenis huruf harus berada dalam satu sel dalam persegi dalam susunan sedemikian hingga semua huruf berada dalam setiap baris, kolom, dan kedua diagonal.

Pertama masukkan semua huruf latin dalam urutan di baris atas persegi, dan kemudian isikan diagonal utama dengan huruf sedemikian hingga huruf yang sama tidak muncul dua kali dalam sembarang garis lainnya, yang mana cara ini dapat dilakukan dengan lebih dari satu cara. Sekali garis ini telah dibuat, maka diagonal lainnya segera dapat ditentukan. Kemudian di bawah sel tengah isikan a dan di atasnya isikan dengan d, maka elemen-elemen dalam kolom tengah dapat terisikan dengan lengkap, dan selanjutnya elemen-elemen dalam baris sisa dapat segera dilengkapi. Salah satu hasil dapat diperoleh seperti gambar 2.17 berikut ini memberikan bentuk persegi Latin berorder 5.

a

b

c

d

e

e

c

d

a

b

d

e

b

c

a

b

d

a

e

c

c

a

e

b

d

Gambar 2.17.

Selanjutnya untuk mengisi sel dengan huruf-huruf Yunani, adalah tidak membantu apabila dimulai dengan menggunakan salah satu diagonal. Tetapi jika dipilih kolom tengah, maka terdapat huruf-huruf yang berbeda pada setiap kedua sisi kolom yang terkait. Sehingga isikan kolom tengah dengan huruf-huruf Yunani yang ekuivalen, dan huruf yunani di tempat ekuivalen Latin refleksinya, yang kemudian diteruskan dengan pengisian sel lain dengan mempertimbangkan keberadaan huruf lain tidak boleh dua kali dalam setiap garis. Maka dengan cara di atas dapat diperoleh persegi ajaib seperti pada gambar 2.18 berikut ini:

a+

b+

c+

d+

e+

e+

c+

d+

a+

b+

d+

e+

b+

c+

a+

b+

d+

a+

e+

c+

c+

a+

e+

b+

d+

Gambar 2.18.

Jelas bahwa tidak ada pembatasan pada gambar yang telah dihasilkan dalam gambar 2.16, dan huruf Latin dan Yunani dapat diambil sembarang bilangan yang ditentukan. Karena terdapat lima huruf maka terdapat 5! = 120 permutasi yang mungkin, dan secara keseluruhan terdapat 14.400 variasi bentuk persegi ajaib 5  5.

2.2. Konstruksi Coba-Salah

Harus diakui bahwa metoda Coba-Salah merupakan salah satu cara kuno untuk memperoleh sesuatu yang diinginkan, meskipun tidak efektif dan kurang ilmiah. Namun jika dikaitkan dengan masalah eksistensi hal ini tidak menjadikan masalah. Bahkan cara ini dipandang sebagai tonggak lahirnya metoda yang baru.

Salah satu hasil metoda coba-salah dalam menemukan eksistensi persegi ajaib adalah ketika ditunjukkan keberadaan persegi ajaib berorder 8. Adalah Bejamin Franklin (Kreher, 2004) seorang Presiden Amerika Serikat, dalam suatu biografinya mengatakan bahwa ketika merasa penat duduk dalam dengar pendapat di Senat dan melepas lelah dengan mencoba menyusun persegi ajaib berorder 8 seperti pada gambar 2.25. berikut ini. Meskipun tidak disertai dengan bagaimana formulasi analitik untuk mengkonstruksinya, namun cukup untuk menyimpulkan bahwa ini merupakan hasil pemikiran cerdas dan mendasar.

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

Gambar 2.25.

2.3. Konstruksi De La Loubére

Salah satu bentuk generalisasi konstruksi persegi ajaib, De La Loubére pada tahun 1693 (Kreher, 2004) telah memberikan suatu metoda umum dalam mengkonstruksi persegi ajaib berorder ganjil 2m + 1. Meskipun masih sebatas order bilangan ganjil namun jelas ini merupakan hasil yang menggembirakan untuk penyelesian masalah konstruksi persegi ajaib.

Langkah-langkah yang diberikan dalam menyusun persegi beroder ganjil adalah sebagi berikut :

1. Tempatkan bilangan 1 dalam sel tengah baris pertama.

2. Secara berturut-turut tempatkan bilangan-bilangan berikutnya dalam diagonal dalam arah kanan atas kecuali:

  1. Apabila sudah menjangkau baris paling atas maka bilangan selanjutnya ditulis dalam baris paling bawah dan kolom selanjutnya di mana elemen pada baris paling atas berada.

    1. Apabila sudah menjangkau kolom paling kanan, maka bilangan selanjutnya dituliskan pada kolom paling kiri dan baris sebelumnya dimana elemen pada kolom paling kanan berada.

    2. Apabila baris atasnya yang akan diisi bilangan berikutnya sudah terisi, atau jika pojok kanan atas telah terisi maka tulislah bilangan selanjutnya itu dalam kolom yang sama dan baris dibawahnya.


Sebagai contoh metoda di atas dapat diterapkan untuk mengkonstruksi persegi ajaib berorder-5 seperti pada gambar 2.26. di bawah ini

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9
1   2   3   4

Похожие:

Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib iconAmprenta psiho-comportamentală metodă modernă de luptă Împotriva infracționalităȚII

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница