Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib




Скачать 130.56 Kb.
НазваниеMetoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib
страница2/4
Дата07.10.2012
Размер130.56 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4

1. Konsep Dasar Persegi Ajaib


1.1. Jumlah Ajaib

Pandang persegi ajaib baku n n, maka elemen-elemen pada persegi ini adalah: 1, 2, 3, …, n2. Untuk persegi ini maka jumlah semua bilangan adalah

= 1 + 2 + 3 + … + n2

=

dan jumlah bilangan-bilangan dalam satu garis atau sering disebut sebagai bilangan ajaib persegi ini adalah

S = =

1.2. Dekomposisi Bilangan Persegi

Untuk memperoleh suatu aturan tertentu dalam menyusun persegi ajaib dari sembarang order, menarik diobservasi bahwa semua bilangan x = 1, 2, 3, …, n2 dapat didekomposisi dengan rumus:

x = pn + q,

dengan mengambil nilai-nilai p = 0, 1, 2, …, n – 1, dan q = 1, 2, 3, …, n. Jelas bahwa semua bilangan dari 1 sampai n2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari setiap nilai dari p dengan setiap nilai dari q.

Lebih lanjut, semua bilangan yang digunakan untuk mendekomposisi bilangan pada persegi dengan rumus pn + q adalah memungkinkan diekspresikan dengan menggunakan dua bagian, yang berurutan, dimana menggunakan huruf-huruf Latin a, b, c, …, untuk bagian pertama pn, dan huruf Yunani , , , , …, untuk bagian kedua q. Dalam hal ini untuk sembarang bilangan x selalu ada huruf Latin dan Yunani yang jumlahnya sama dengan x dengan huruf-huruf Latin menjalani nilai-nilai: 0, n, 2n, 3n, (n – 1)n, dan huruf-huruf Yunani menjalani nilai-nilai: 1, 2, 3, 4, …, n. Nantinya urutan penulisan huruf-huruf Latin dan Yunani tidak harus dalam bentuk tertentu, dan sembarang huruf latin dapat menyatakan bilangan-bilangan 0, n, 2n, 3n, (n – 1)n, sepanjang semua nilai berbeda diambil darinya, demikian pula untuk huruf-huruf Yunani.

Sekarang sembarang bilangan 1, 2, …, n2 dalam persegi dapat direpresentasikan dengan sebuah pasangan huruf Latin dan huruf Yunani, katakan dengan b + atau a + , dan sebagainya. Jika masing-masing huruf Latin digabungkan dengan masing-masing huruf Yunani, maka jelas bahwa semua bilangan dari 1 sampai n2 harus dihasilkan, dan juga jelas bahwa setiap kombinasi yang berbeda dari huruf-huruf selalu menghasilkan bilangan yang berbeda, dengan tidak ada bilangan yang terulang.

1.3. Persegi Latin

Persegi Latin order-n tersusun atas n bilangan yang berbeda. Dalam persegi Latin n bilangan-bilangan itu tersusun sedemikian hingga setiap bilangan berada tepat satu kali pada setiap baris dan setiap kolom. Normalnya n bilangan itu diambil dari n bilangan bulat posisif pertama.

Dua persegi latin A = [aij] dan B = [bij] berorder-n dikatakan ortogonal jika pasangan berurutan (aij, bij) semuanya berbeda untuk i, j = 1, 2, …, n.


1.4. Dekomposisi Persegi Latin Ortogonal

Telah diperlihatkan bahwa semua bilangan dalam persegi dapat dinyatakan dengan kombinasi dari huruf Latin dan Yunani. Hal ini akan memberikan suatu aturan untuk pengkonstruksian suatu persegi ajaib. Pertama, huruf-huruf Latin diletakkan dalam setiap elemen persegi sedemikian hingga jumlah dalam setiap garis adalah sama. Oleh karena terdapat n huruf dan harus mengisi elemen sebanyak n2 secara bersama-sama dalam persegi, maka masing-masing huruf akan berulang muncul sebanyak n kali. Secara sama huruf-huruf Yunani diletakkan dalam setiap elemen persegi sedemikian hingga jumlah dalam setiap garis adalah sama. Maka, untuk semua garis, jumlah semua bilangan yang dibuat oleh kombinasi huruf Latin dan Yunani akan sama. Lebih lanjut, dalam penyusunan dimana setiap huruf Latin dikombinasikan dengan setiap huruf Yunani, dengan metoda ini tidak satupun bilangan dari 1 sampai n2 yang terlewatkan, dan tidak akan ada yang dihasilkan dua kali.

Dengan menggunakan aturan di atas untuk membuat masing-masing order persegi bergantung pada berapa banyaknya elemen, akan dimulai dengan sembilan elemen atau order tiga. Hal ini jelas jika persegi yang terdiri dari satu sel akan selalu ajaib berapapun elemen bilangannya. Untuk persegi dengan order dua yaitu persegi dengan 4 elemen, tidak cukup ruang untuk penyusunan seperti di atas. Lebih lanjut, secara umum terlihat bahwa untuk masing-masing tipe, ada n huruf Latin dan juga n huruf Yunani, dan semua garis mempunyai sejumlah sel yang sama, dengan kondisi yang diberikan terpenuhi jika masing-masing garis memuat semua huruf Latin dan Yunani. Bagaimanapun jika huruf yang sama muncul dua atau tiga kali dalam suatu garis, maka selalu perlu mempunyai jumlah semua huruf yang terjadi dalam setiap baris sama dengan jumlah semua huruf Latin a + b + c + …, atau jumlah semua huruf Yunani + + + +...
1   2   3   4

Похожие:

Metoda Pengkonstruksian Persegi Ajaib iconAmprenta psiho-comportamentală metodă modernă de luptă Împotriva infracționalităȚII

Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница