Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I




Скачать 355.63 Kb.
PDF просмотр
НазваниеМеханика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I
страница30/30
Дата06.10.2012
Размер355.63 Kb.
ТипКонспект
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   30

Рис.14.7. Главные  напряжения  в балке
Отметим, что в точках  2?  и  4?  главные напряжения могут быть
больше, чем    ?*   в крайних волокнах.
Л е к ц и я  15.  Расчеты  на  прочность  при
изгибе. Рациональные  формы  балок

15.1.  Условие  прочности  по  нормальным  напряжениям
Расчеты балок на прочность производятся, чаще всего, по нормаль-
ным напряжениям. Если материал балки имеет различные допускаемые на-
пряжения на растяжение и на сжатие  ( [ ?  ]  ? [ ? ] ) ,  то необходимо
 p
 c 
выполнить два условия прочности
р
?    [ ?  ]         и          c
   [  ] .           ( 15. 1 )
  max  
 p
  max  
 c
При  этом  встречаются  три  вида  задач:
1. Определение размеров и формы  сечения балки,  если  заданы
расчетная схема,  нагрузки  и  материал.
2. Проверка  напряжений  в  существующей  балке  при  изменении
нагрузок.
3. Определение  допустимых  величин нагрузок на балку заданных
размеров.
Решение  задач  2  и  3  обычно  не  встречает  особых  затруднений,
так как  геометрические характеристики  сечения  и  прочностные свойства
материала известны.
76


Проектировочный расчет ( задача  первого  вида )  будем выполнять
в  предположении,  что балка имеет постоянное сечение,  а  допускаемые
напряжения на растяжение  и  на  сжатие  одинаковы.  Согласно  выражению
(13.12)  запишем   у с л о в и е   п р о ч н о с т и   п р и   и з г и б е  в  виде
?
 =   М
 /  W   ?    [ ?  ] ,                          ( 15. 2 )
 max  
 max 
 
 
где  М
 — наибольший  по  абсолютной  величине изгибающий момент,
 max
взятый  из  эпюры моментов.
Если  допускаемое  напряжение  [ ?  ] известно,  то  требуемый
 
момент сопротивления определится  из  следующего  неравенства
W тр  ? М
 /   [  ]  .                                ( 15. 3 )
 z
 max 
 
Далее  необходимо выбрать форму поперечного сечения. Для
прямоугольного сечения  шириной  b и  высотой  h    W  = b h 2 / 6   и,
 z
следовательно,  надо задать  отношение  высоты  к  ширине   h / b = k. Тогда
W  =  b 3 k 2 / 6 ,   откуда  определяем  ширину и высоту сечения
 z
тр
2
3
6W
k ,      h=kb                  ( 15.4 )
z
Отношение   k  задается из условия наименьшего расхода материала,
т.е. минимальной площади сечения.
  (15.5)
Принимая корень кубический за постоянную величину и площадь
квадратного сечения  (при  k = 1 )  за единицу, построим график зависимости
А*  от  k  (рис.15.1). Из этого графика видно, что расход материала
уменьшается  с  увеличением   k , но после  k = 3,0  это уменьшение
замедляется.
Очевидно, что наиболее рациональными  можно  считать  прямоу-
гольные  сечения  балок  с отношениями   h / b  ?  1,5 — 3,0 .
Необходимо отметить , что прямоугольные сечения балок являются
нерациональными, так как при весьма неравномерном распределении нор-
мальных напряжений по высоте сечения  (рис.13.4)  прочностные свойства
материала вблизи нейтральной оси используются далеко не полностью.
77

Поэтому  появилась  идея
перенести материал из мало напря-
женной  зоны подальше от  оси   z ,
увеличивая тем  самым момент
инерции  J   и момент сопротивле-
 z
ние  W  сечения. Эта идея реализо-
 z
вана в двутавровых сечениях.
Так, на  рис.15.2  показа-
ны два сечения,имеющие одинако-
Рис.15.1. Зависимость A* от k
вые площади (т.е. равноценные по
расходу материала) , но их моменты инерции отличаются  более, чем  в 10  раз
(J пр = 10 ? 20 3   / 12=6667cм4,       J дв =2 ? 40 3 / 12 + 2 (15 ? 4 3 / 12 + 15 ? 4 ? ?22 2 )= 10667
 z
 z
+ 2 (80 + 29040 ) = 68907 cм 4 ) , а моменты сопротивления — в 4,3 раза ( W пр  =
 z
667  см 3, W дв = 2871 см 3)
 z
                
Рис.15.2. Прямоугольное и
Рис.15.3. Коробчатое сечение
двутавровое сечения
Рациональными являются также балки коробчатого сечения
(рис.15.3) и из прокатных двутавров.
Особенно просто производится подбор балок из стандартных
двутавров и швеллеров, для которых имеются таблицы геометрических
характеристик сечений.
15.2.  Условие  прочности  по  касательным  напряжениям
Определение размеров сечений балок из условия прочности по
касательным напряжениям
78

  =  Q  S отс / ( J  b )  ?  [  ?  ] ,                  ( 15. 6 )
 max
 max
 z 
 z
 min 
обычно , не производится, так как в него входит три неизвестные величины   J
 ,  b  и S отс .  Допускаемое напряжение   [ ? ]  и максимальная поперечная сила
z
 z 
Q
  известны.
 max
Чаще всего, размеры и форма сечения выбираются из условия
прочности по нормальным напряжениям  (15.2), а затем проверяется
выполнение условия  (15.6)  в том сечении, где поперечная сила имеет
наибольшее значение или в сечении с относительно большими  М  и  Q
находятся главные напряжения  ?   и   ?   (см.рис.14.8)  и записывается
 1
 3
условие
?
  =  (  ?    ?  )  /  2     [   ] .                     ( 15.7 )
 max 
 1
 3 
15.3.  Балки  равного  сопротивления
Балки постоянного сечения являются рациональными только в
случае чистого изгиба, когда во всех сечениях действуют одинаковые изги-
бающие моменты. При переменных величинах моментов многие сечения
оказываются недогруженными, если расчет производился по максимально-
му моменту   М
 . Более экономичными  (по расходу материала)  могут
 max
быть балки переменного сечения.
Для простых случаев нагружения можно спроектировать балки, во
всех сечениях которых максимальные напряжения равны допускаемым. Такие
балки называют  балками  равного  сопротивления  изгибу.
Рассмотрим в качестве примера консольную балку из пластичного
материала, нагруженную сосредоточенной силой  F  на свободном конце
(рис.15.4).
Рис.15.4. Консольные балки равного сопротивления
79

Изгибающий момент в произвольном сечении равен   М(х) = F x (по
 
абсолютной  величине ). Условие равнопрочности балки во всех сечениях
запишем в виде
М (х) /  W (x)   =   [ ? ] .                          ( 15.8 )
Переменный момент сопротивления прямоугольного сечения равен
W (x)  =  b (х)  h 2 (х) / 6 .                         ( 15.9 )
Из  (15.8)  и  (15.9 )  следует
b (х)  h 2 (х)  =  6 F ? x  /  [ ? ] .                     ( 15.10 )
Возможны два варианта балок равного сопротивления .
При   h (x) = h =  const  получаем
b (х)  =  [ 6 F / ( [ ? ]  h 2 )] ? ,                      ( 15.11 )
т.е. ширина сечения должна изменяться по линейному закону от  b = 0  до
b = [ 6 F / ( [ ? ]  h 2 )]  l    (рис.15.3 в) .
При   b (x) =  b =  const  следует
=
([?] ) 1 2
h(x)
6F
x ,                     ( 15.12 )
т.е.  высота сечения возрастает по закону квадратной параболы от  h = 0
до  h = 6F[(?]b)  (рис.15.4 г) .
 Вблизи места приложения силы  F  необходимо сделать утолщение
балки для того, чтобы касательные напряжения не превысили допускаемой
величины.
Рис. 15.5. Рессора автомобиля
80

Рессоры грузовых автомобилей  (рис.15.5) — это балки равного
сопротивления на двух опорах, нагруженные силой посередине. Они имеют
ступенчато переменные сечения при  b = const .
Л е к ц и я  16.  Перемещения  сечений  при
изгибе

16.1.  Основные  задачи
Перемещения сечений, как уже отмечалось ранее, необходимо знать
при расчетах конструкций на жесткость и при расчетах статически неопре-
делимых систем.
Достаточно жесткой считается балка, перемещения сечений кото-
рой не превышают допустимых величин, предусмотренных нормами проек-
тирования. Например, для промышленных зданий допустимыми считаются
линейные перемещения, не превышающие  (1/400—1/600 ) l  , где  l      —
пролет балки. В мостах максимальные перемещения должны быть меньше
l / 1000 .
16.2.  Уравнение  изогнутой  оси  балки
При   прямом   изгибе   продольная   ось  балки  искривляется,
образуя плоскую кривую, которую называют  изогнутой  осью  балки  .
Сечения балки совершают два перемещения — линейные   w   в направле-
нии, перпендикулярном к  недеформированной оси, и  угловые  ?   относи-
тельно главной оси инерции, перпендикулярной к плоскости действия
нагрузок  (рис.16.1).
  
Рис.16.1. Перемещения сечения
Рис.16.2. Правило знаков
81

Будем рассматривать малые деформации балок и поэтому переме-
щения сечений в направлении оси   х   не будем учитывать.
Линейные перемещения     называются  прогибами ,  а функция
w =  w (x) —  уравнением изогнутой оси балки. Функция  ?   =  ? (x) —  это
уравнение углов поворота сечений. Между этими двумя функциями
существует дифференциальная зависимость
tg ? ? ? ( )  = dw(x) / d x .                      ( 16. 1 )
Для получения уравнения изогнутой оси балки воспользуемся
соотношением  (13.9) и перепишем его в виде
1 / ?  =  М ( х ) / (E J  ) .                              ( 16. 2 )
z
Здесь  М (х) -  изгибающий момент в произвольном сечении,
1/?  -  кривизна изогнутой оси в этом же сечении,   E J  - жесткость стержня
z
при изгибе.
Точное  выражение для  кривизны кривой, известное из математи-
ки, имеет вид
                                  d 2 w(x) / d x 2
1 / ?  =  ±  ???????????    .                  ( 16. 3 )
                         [  1  +  ( dw(x) / d x ) 2 ] 3 / 2
С учетом  (16.1)  перепишем  (16.3)  так
                                            d 2 w(x) / d x 2
1 / ?  =  ±  ????????   .                ( 16. 4 )
                                          [ 1  +  ? 2 ( x  ] 3 / 2
При  малых  деформациях  балок  углы  поворота  сечений  не
превышают, обычно, ? = 0,05  радиана . Следовательно, ? 2  = 0,0025  и
знаменатель в выражении  (16.4)  можно принять за единицу с погрешнос-
тью не более  0,25%.
Тогда соотношение  (16.2)  запишется  в виде
± d 2 w(x) / d x 2  =  M ( x ) / ( E J  ) .                  ( 16. 5 )
z
82

Это и есть приближенное дифференциальное уравнение изогнутой
оси балки,  в  котором  использовано  упрощенное   выражение  для  кривиз-
ны  1 / ?  = d 2w(x) / d x 2   и  не  учитывается влияние поперечных сил  Q ( x ).
Установим следующее правило знаков для кривизны, перемещений
и изгибающих моментов. Направляем ось  w  вверх  (рис.16.2). Тогда при
положительном изгибающем моменте в левой части уравнения (16.5) следует
брать знак  плюс,  а  при  отрицательном  моменте — знак  минус.
Положительное  линейное перемещение w  откладывается  вверх, а
положительный  угол поворота  ?  — против хода часовой стрелки .
Таким образом, задача определения перемещений сечений при
изгибе балок сводится к интегрированию дифференциального уравнения
(16.5) второго  порядка. В случае  постоянной  жесткости  по длине  балки E
J  =  const  такое  интегрирование выполняется сравнительно просто,  так как
z
M ( x )  является степенной функцией от координаты  х .
Рассмотрим несколько способов определения перемещений в балках.
16.3. Способ  непосредственного  интегрирования
Возьмем неопределенные интегралы от обеих частей уравнения
(16.5) (аргумент  х  в w  и  М, а  также  индекс у   J  опускаем)
dw / dx  =  ? ( x )  =  ? M / ( E J ) dx  +  C .                ( 16. 6 )
Получили уравнение углов поворота  сечений.
Второе интегрирование дает уравнение прогибов
w(x) =  ? ? M / ( E J ) ddx  +  C х  +  D .                   ( 16.7 )
Здесь   C  и   D — постоянные интегрирования,  зависящие  от
граничных условий  или  от  вида опорных  закреплений  балки.
Рассмотрим три примера  определения перемещений  в балках
способом непосредственного интегрирования дифференциального уравне-
ния изогнутой оси.
Пример 16.1.  Консольная балка постоянной жесткости нагружена
силой   F  на  свободном  конце  (рис.16.1). Начало  координат помещаем  на
опоре  А . Реакции равны  Y  = F ,  M  = F l .  Изгибающий момент в
A
 A
произвольном сечении  х  запишется от  левых  сил  в  виде
83

М ( х )  =  — М  + Y  х  =  — F l  + F х .
 А  
A
Дифференциальное  уравнение  принимает вид
d 2 w / d x 2  = (— F l  + F х ) / ( Е J )                       ( 16. 8 )
Углы  поворота  и  прогибы  запишутся  после  интегрирования так
(x) = ( F х 2 / 2 —  F l х ) / ( Е J )  + С ,                 ( 16. 9 )
w(x) =  ( F х 3 / 6 —  F l х 2 / 2  ) / ( Е J )  + С х + D .       ( 16.10 )
 
Рис.16.3. Консольная  балка
Рис.16.4. Балка на двух опорах
Граничные  условия :
1)  При  х = 0  угол поворота   ?  = 0  и  из  (16.9)  имеем   С = 0.
 А
2)  При  х = 0  прогиб    =  0   и  из  (16.10)  получаем   D = 0  с
 А
учетом,  что  С = 0 .
В  итоге  уравнения углов поворота  и  прогибов принимают  вид
? (x) = F ( х 2 / 2 —  l х ) / ( Е J )  ,                             (16.11 )
w(x) =  F ( х 3 / 6 —  l х 2 / 2  ) / ( Е J ) .                        (16.12 )
Максимальные перемещения конца консоли можем вычислить по
(16.11)  и  (16.12)  при   х = l .
l ) =  ?   =  — F l 2 / (2 E J) ,                        (16.13 )
в  
) =  w   =  — F l 3 / (3 E J) .                        (16.14 )
В
Поворот сечения  В  происходит по ходу часовой стрелки, а линей-
ное перемещение   —  вниз  (рис.16.3).
В 
Пример 16.2.  Балка на двух опорах нагружена равномерной
нагрузкой  q  на всей длине  (рис.16.4) . Начало координат выбираем на опоре
А. Реакции опор равны   Х  = 0,  Y  = Y  = q l / 2 .
 А
A
 B
Изгибающий момент в сечении  х  от левых сил равен
М ( х )  =  Y  x  —  q x 2 / 2  =  ( q l / 2 ) x  —   q x 2 / 2 .
A
Дифференциальное уравнение изогнутой оси запишем в виде
d 2w / dx 2  =  ( 1 / E J ) [ ( q l / 2 x — q x 2 / 2 ] .       (16.15 )
      После интегрирований получаем
? (x) =  ( 1 / E J ) ( q l x 2 / 4 — q x 3 / 6 )  +  C ,       (16.16 )
84

w ( x ) =  ( 1 / E J ) ( q l x 3 / 12 —  q x 4 / 24 )  +  C x  +  D.    (16.17)
Для определения постоянных  С  и  D  выполним два граничных
условия :
1) При  х = 0  прогиб   = 0,  из  (16.17)  имеем
 A
                          0  =  ( 1 / E J ) 0  +  C ? 0  +  D ,         D = 0 ;
2) При  х = l  прогиб    = 0,  также из  (16.17) получаем
 в
0 = (1 / E J) (q l l 3/12 — q l 4 / 24) + C l  +  0 , C = — q l 3 / (24 E J).
Тогда уравнения  (16.16)  и  (16.17)  принимают вид
 (x) = ( 1 / E J ) ( q l x 2 / 4 — q x 3 / 6 ) — q l 3 / (24 E J).     (16.18 )
 
w (x) = (1 / E J) (q l x 3 / 12 — q x 4 / 24) — q l 3 / (24 E J) x . (16.19 )
Подсчитаем   ?    и      для  сечения   С   посередине  пролета   при
 c
 c
х = l / 2
 =  ( 1 / E J ) ( q l 3 / 16 —  q l 3 / 48 ) —  q l 3 / (24 E J)  =
 c
= q l 3 / (24 E J) —  q l 3 / (24 E J)  =  0 ,
 =  w
 = ( 1 / E J ) ( q 4 / 96 — q l 4 / 384 ) —  q l 4 / (48 E J) =
 c
  max
 = —  5 q l 4 / ( 384 E J ) .
Наибольшие углы поворота сечений имеем на опорах при х = 0   и
х l
?   =  —  ?  =  ?
 =  — q l 3 / (24 E J) .
 A
 B  
 max  
Обратим внимание на физический смысл постоянных интегрирова-
ния С и D. Оказывается, что  С —  это угол поворота, а  D — прогиб в начале
координат.
Пример 16.3.
Балка на двух опорах
(рис.16.5) , нагруженная
силой  F , имеет два участ-
ка с различными
уравнениями изгибающих
моментов :
М ( х ) = Y  x   при
 A
0  ?  х 
Рис.16.5. Балка с двумя участками
 ?  а ,
М ( х ) = Y  — F ( — a)
 A
  при   a   ?  х  ?  l.
Интегрирование уравнения  (16.5) дает  ?(x) и w (x)  для двух  учас-
 
тков
E J ) = Y  ( x 2 / 2 )  +  C   ,
1  

 1
85

E J )  =  Y  ( x 3 / 6 )  +  C x  +  D  ;              ( 16.20 )


 1  
 1
E J q ( )  =  Y  ( x 2 / 2 ) — F 2 / 2  +  C ,
 2 
A
 2 
E J )  =  Y  ( x 3 / 6 ) —  F 3 / 6   +  C x  +  D  ,     ( 16.21 )


 2  
 2
в которые входит четыре постоянные  С  D  ,C  , D  .  Для их определения надо
 1 ,
 1
 2
 2
записать четыре условия :
1 —  при    х  =  0        =  0 ;      2  —   при   х  =  l   = 0 ;
 A
 B
3 —  при    х   а      ?   =  ?  ;     4 —   при   х   а   w   =  .
 с1
 с2
 с1
 с2
Два последних условия обеспечивают  “стыковку” перемещений на
границе участков. Если балка имеет   n  участков, то придется определять   2n
постоянных интегрирования.
Следовательно, при двух и более участках на балке определение
перемещений способом непосредственного интегрирования становится тру-
доемким и обычно не применяется.
_________________
( [ 1 ] стр. 287 - 293 )
Л е к ц и я  17 .  Метод  начальных  параметров.
Универсальные  формулы

17.1.  Вывод  формул
Для балок постоянной жесткости   Е J = const  на всех участках
количество постоянных интегрирования при определении перемещений мож-
но свести к двум, если выбрать общее для всех участков начало координат и
применить  прием  Клебша  при вычислени интегралов.
Рассмотрим балку, находящуюся в равновесии под действием
нагрузок (рис.17.1 а). Направления нагрузок выбраны так, чтобы они
вызывали положительные изгибающие моменты, эпюры которых показаны
на рис.17.1 б, в, г, д .
Помещаем  начало координат  на  левом  конце  балки,  в  точке  О.
Все расстояния   а   до сечений, где приложены сосредоточенные воздей-
 i
ствия  m,  F   и  где начинаются распределенные нагрузки  q   и   k   будем
отсчитывать от начала координат.
Балка имеет пять участков. Запишем выражение изгибающего момента для
сечения с координатой  х  , расположенного на последнем участке
М ( х ) = m + F ( ) + q ( ) 2 / 2 + k ( ) 3 / 6.  (17.1)
 F
 q
 k
86

Здесь  k = tg ?  —  cкорость нарастания интенсивности нагрузки на
участке  V .
Так как жесткость  E J = const ,  то дифференциальное уравнение
(16.5) можно записать в виде
 E J d 2w / dx 2  =  М ( х ) .                       ( 17.2 )
Рис.17.1. Схема нагружения и эпюры моментов
После подстановки   М ( х )   в  (17.2)  и двух интегрирований получим
E J ?(х) = С + m (  ) + F (  ) 2 / 2  + q (  ) 3 / 6 +
 m
 F
 q  
+ k(  ) 4 / 24 ,                             ( 17. 3 )
 k
E J w(х) =  D  +  С  +  m (  ) 2/ 2  +  F (  ) 3 / 6  +
 m
 F
+ q (  ) 4 / 24  +  k(  ) 5 / 120 .                      ( 17. 4 )
 q  
 k
Cлагаемые уравнения (17.3) — это площади эпюр моментов
(рис.17.1 б)  и поэтому  при  сосредоточенной  паре сил  m  скобка
(— ) —  это длина эпюры  М  (рис.17.1 б ).
 m
 m
Вычисление интегралов производилось без раскрытия скобок (при-
ем Клебша)
 ) dх   =    ) d (  )  =  (  ) 2 / 2 ,   ( 17.5 )
 
 
 
 
87

так как   d (   a ) = dx .
 
При   х  = 0  все слагаемые в (17.3) и (17.4), содержащие скобки,
равны нулю и тогда
С  =  E J q  ,          D  =  E J  .                  ( 17.6 )
 0 
 0
Постоянные интегрирования  С  и  D называются  геометрически-
ми  начальными  параметрами .  ?  —  это угол поворота сечения, а    —
 0 
 0
прогиб в начале координат  (рис.17.1 а ). Для их определения используются
граничные условия, зависящие от способов закрепления балок.
Например, для консольной балки  (рис.17.2 а)  с защемляющей
опорой в начале координат  имеем  ?  = 0    и   w =  0 .
 0
 0  
Для балки на двух опорах  (рис.17.2 б)  ?  ? 0 ,   =  0   и   ?
 0
 0
 0
определяется из условия :  при   х  =  l       = 0 .
 B
Рис.17.2. Геометрические начальные параметры
В балке, показанной на рис.17.2 в , оба начальных параметра не
равны нулю. Их можно определить  путем решения системы двух уравне-
ний, полученных из граничных  условий:   при   х  =  c     = 0    и   при
 A
х = с + l      = 0.
 B
Если  обратить  внимание  на то,  что  числа,  стоящие  в  знаменате-
лях уравнений  (17.3) и  (17.4),  являются  факториалами  показателей
степеней  скобок  
—  2 = 1 ? 2  =  2 ! ,   6  = 1 ? 2 ? 3 = 3 ! ,
24 = 1 ? 2 ? 3 ? 4 = 4 !   и   120 = 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 = 5 ! . Тогда  универсальные
формулы  метода начальных параметров можно переписать в лучше запо-
минающемся виде
E J ? (х) = E J ?   +  m (  )/ 1 !  +  F (  ) 2 / 2 !  +

 m
 F
+ q (  ) 3 / 3 !  +  k (  ) 4 / 4 ! ,                    ( 17. 7 )
 q  
 k
E J w(х) = E J  +E J q   x +m ( ) 2/ 2 ! +F ( ) 3 /3 !+
 0
0
 m
 F
+ q (  ) 4 / 4 !  +  k (  ) 5 / 5 ! .               ( 17. 8 )
 q  
 k
88

17.2. Технология  вычисления  перемещений
Для того, чтобы избежать ошибок при определении перемещений по
универсальным формулам  (17.7), (17.8),  необходимо придерживаться  следу-
ющих правил :
1. Записывать слагаемые в той последовательности, в какой встре-
чаются нагрузки при возрастании координаты сечения х. Количество слага-
емых в уравнениях, кроме   EJ?  и  E J  ,  должно равняться числу
 0 
  0
действующих нагрузок   и   реакций  опор .
2. Знаки нагрузок должны соответствовать знакам вызываемых ими
изгибающих моментов. Числа в скобках всегда должны быть больше нуля
или равны нулю. Отрицательное число в скобках  —  это  сигнал  о том, что
взято   л и ш н е е   слагаемое  (с последующего участка).
3. Особо необходимо следить за  окончанием  распределенных
нагрузок ,  так  как  универсальная  формула  этого не учитывает и линейные
нагрузки автоматически продолжаются до конца балки. Поэтому надо
включить в формулу слагаемые от компенсирующей нагрузки   q  , имею-
 к
щей ту же интенсивность, но направленную навстречу продолжившейся
нагрузке  (рис.17.3).
Пример 17.1.  Дадим последовательность определения перемеще-
ний методом начальных параметров в балке, показанной на рис.17.4.
      Определяем реакции опор
? М  = 0 ;     — Y  8 + 10 ? 4 ? 6  —  16 ? 3  =  0 ,       Y  = 24 кН ;
  В
A
A
? М  = 0 ;    — Y  8 — 10 ? 4 ? 2  —  16 ? 11  =  0 ,     Y  = 32 кН ;
  А
В
В
? F  = 0 ;  Y   + Y — q 4 — F =24 + 32 — 40 — 16 =56 — 56 = 0 .
 y
A
В
Записываем универсальные формулы для 3-х участков балки (гра-
ницы участков отмечены вертикальными линиями ).
            
Рис.17.3. Учет компенсирующей
Рис.17.4. Балка на двух опорах
нагрузки
89

E J? (х) = E J?  +Y  (— 0) 2 / 2 — q (— 0) 3/ 6?I +
0
A
+ q  ( x— а  ) 3 / 6?I I +Y  ( x ) 2 / 2  ?I I I ,         ( 17. 9 )
 к
 q к
 B
 y B
E J w (х) = E J w  + E J?    + Y  ( x— 0 ) 3 / 6 — q ( x — 0 ) 4/ 24 ?I  +
0
0
A
+ q  ( x — а  ) 4 / 24 ?I I   + Y  ( x —  ) 3 / 6 ?I I I .            ( 17. 10 )
 к
 q к
 B
 y B
Определяем начальные параметры. При  х = 0   = 0  и из (17.10)

получаем   E J  =  0.  При    х = 8 м     = 0 ,  тоже  из  (17.10)   имеем :
 0
 В 
0 = 0 + E J?   8 + 24 ? 8 3 / 6 — 10 ? 8 4 / 24  + 10 ? 4 4/ 24 .    Тогда   получаем E
0
J?   = — 56 =  ?     (по ходу часовой стрелки).
0
 A
Записываем  формулы в окончательном виде
E J?(х) = —56 +12 x 2—1.67 x 3 + 1.67 (x—4) 3 + 16 (x—8) 2 , (17. 11)
 E J w (х) = — 56 + 4 x 3— 0.417 x 4 + 0.417(— 4) 4+
+ 5.33 (— 8) 3.                                                          (17. 12)
Вычисляем   прогиб  сечения  С  по  (17.12)  при   x  =  4 м .
 E J w  = — 56 ? 4 + 4 ? 4 3 — 0.417? 4 4 = — 75  ( вниз ).
 C  Определяем  угол  поворота  сечения  В по (17.11) при  x = 8 м
E J? = — 56 + 12 ? 8 2 — 1.67? 8 3 + 1.67? 4 3  =  — 36  (по ходу часовой
 В 
стрелки).
И  в  заключение, вычислим прогиб сечения   D ( при  x = 11 м ), где
приложена сила  F . E J  w  = — 56 ?  11  + 4 ? 11 3 — 0.417 ? 11 4  +
  D
+ 0.417 ? 7 4 + 5.33 ? 3 3  = — 252  ( вниз ).
По найденным перемещениям изображаем приближенно деформи-
рованный вид балки  (рис.17.4 в) .
Если известна жесткость балки  EJ  и задано допускаемое переме-
щение, то можно выполнить проверку  условия  жесткости       =
  D
w
 = 252 / ( EJ ) ? [ w ] .
 max
Л е к ц и я  18 .  Энергетический  метод
определения  перемещений

18.1.  Основные  теоремы
Рассмотрим в кратком изложении еще один метод определения
перемещений сечений в любых конструкциях, основанный на теоремах о
работе сил. Введем универсальные обозначения перемещений и работ.
90

?  —  это перемещение по направлению силы  m , вызванное силой
 m n
n . Перемещение называется  действительным , если индексы совпадают.
Например,  ? —  это перемещение по направлению силы  Р  и возникло от
 рр 
нагружения  конструкции этой же силой  Р.
Если индексы не совпадают, то  перемещение  называется  возмож-
ным. Например, ?  —  это перемещение по направлению силы  Р , вызванное
 ps
силой  S  (рис.18.1 а).
Рис. 18.1. Две последовательности нагружения балки
Аналогично обозначаются и работы сил : U  —  это действитель-
 pp
ная работа силы  Р  на перемещениях, вызванных самой же силой  Р,  U  —
 ps
возможная работа силы  Р  на перемещениях, вызванных  силой  S,  т.е. сила
Р  работает на “чужих” перемещениях.
Докажем   теорему  Бетти  о взаимности  (равенстве) возможных
работ внешних сил. Для этого рассмотрим две последовательности
нагружения балки  (рис.18.1) . Первый раз нагружаем балку сначала силой
Р, а затем силой  S  (рис.18.1 а) и вычисляем суммарную работу сил
U   +  U   +  U  = Р ?  / 2  + S  / 2  + Р .          ( 18. 1 )
 PP
 SS
 PS
рр
ss
ps 
Затем изменяем порядок приложения сил —  вначале  S , а затем  Р
и определяем работу
U   +  U   +  U  = S ?  / 2  + Р  / 2  + S  .         ( 18. 2 )
 SS
 PP
 SP
ss
рр
sp
Так как начальные и конечные состояния балки совпадают, то
должны быть равны и суммарные работы сил  (18.1)  и  (18.2). Следователь-
но, можем записать
Р  = S   =  U   =  U  .                          ( 18. 3 )
ps
sp
 PS
 SP
Теорема  Бетти  (18.3)  читается так :  возможная  работа  силы   Р
на  перемещениях ,  вызванных  силой   S ,  равна возможной  работе
силы   S  на  перемещениях ,  вызванных  силой   Р .

91


Поскольку работа внешних сил полностью переходит в потенциаль-
ную энергию внутренних сил  ( закон  сохранения  энергии ) , то аналогич-
ным  путем можно доказать теорему Бетти для работ изгибающих моментов
    V   =  V  .                                      ( 18. 4 )
 PS
 SP
Если работой поперечных сил пренебречь (из-за ее малости), то
можно возможную  работу  внешних сил приравнять  возможной работе из-
гибающих моментов
U  = V
( 18. 5 )
 SP
 PS .                                                           
18.2.  Интеграл  Мора-Максвелла
Возможная работа изгибающих моментов записывается в виде
=
M M
EJ dx
PS
?( p s ) ( )                       ( 18. 6 )
l
Интеграл берется по всей длине балки   l .
Для  вывода  формулы  перемещений рассмотрим два состояния
балки —   грузовое  ( Р )  и   возможное  ( S )  (рис.18.2) .
Рис. 18.2. Грузовое  и  возможное  состояния  балки
Распишем  равенство  (18.5)  так
S    =   ( M  M  ) / ( E J ) d x .                  ( 18. 7 )
 SP
 P
 S
где  М  — изгибающие моменты  в  грузовом  состоянии,   M  —моменты  в
 Р
 S
возможном  состоянии.
Разделим обе части  выражения ( 18.7)  на  S  и   получим  интеграл
Мора - Максвелла  для  определения  перемещения  сечения  К
  ( 18. 8 )
Здесь   M*  = M  / S —  изгибающие  моменты  при  загружении  балки
S
 S
единичной  силой   S * = 1.
92

При определении линейного перемещения сечения прикладывают
единичную  сосредоточенную  силу,  а  при  определении  угла  поворота  —
единичную пару сил ( момент ).
Если  балка  имеет несколько  участков  с  различными  выражениями
моментов    M    и   M*  ,  то надо  брать  сумму  интегралов  по  длинам всех
 P
S
участков
n
? = ??( i *i
M M
EJ dx.
SP
p
) (
                      ( 18. 9 )
1 l
18.3. Вычисление  интегралов  по  правилу  Верещагина
Для  балки  постоянной  жесткости  интеграл  (18.8) можно  запи-
сать так
  = 1 / ( E J ) ?  M  M*   d x .                        ( 18. 10 )
 SP
 P
S
Верещагин А.Н., учитывая тот факт, что  эпюры   M*   от  единичных
S
воздействий   всегда   линейные,  по-
лучил формулу  для  вычисления
интегралов путем  “ п е р е  м  н о ж
е н и я ”
  эпюр  моментов
 =1 / ( E J )    у s ,  (18. 11)
 SP
 Р
 с
где  ? — площадь грузовой эпю-
 Р 
ры моментов  M ,  а  у s  —
 P 
  с
ордината,  взятая  с единичной
эпюры  M*    под центром тяжести
S
С площади ? .
 Р
Если результат вычислений
получается  положительным, то  это
означает, что перемещение сечения
происходит  по  выбранному  направ-
лению  единичной  силы.
Формулы  для  определе-
ния  площадей  и  координат  цент-
ров тяжести наиболее  часто встре-
чающихся  эпюр моментов приве-
Рис.18.3. Площади и координаты
дены на  рис.18.3.
центров тяжести эпюр
93

Сложные эпюры   всегда    можно
разложить   на   простые.  Так,   эпюра,
показанная  на  рис.18.4 а,  состоит  из
двух треугольных с площадями ?  < 0  и
 1
?   > 0 ,а  на  рис.18.4 б — разделена
 2
пунктирными  линиями  на две треуголь-
ные   ?  , ?   и  параболическую ?
  1
  2
  3
такого вида, как  показана на рис.18.3 г .
Рис.18.4. Разложение эпюр на
простые
18.4.  Два примера
Пример 18.1. Определить прогиб и угол поворота сечения В кон-
сольной балки  (рис.18.5) ,  нагруженной силой  F  на конце консоли  (см.при-
мер 16.1). Грузовая эпюра моментов приведена на рис.18.5 б, а единичные
—  на рис.18.5 в,г.
Площадь грузовой эпюры   ?  = F l ? l / 2 = F l 2 / 2 . Ордината
  р
у  = 2 l / 3 ,  ордината  у   = 1.
 1с

По формуле  Верещагина   (18.11)   получаем прогиб сечения  В
 =  ?  =  ( 1 / E J ) ?  F 2 / 2 ? 2 l / 3  =  F 3 / (3 E J )  (вниз) , что совпадает
 B
 s1 p
с выражением  (16.14) .
Рис.18.5. Консольная балка
Рис.18.6. Балка на двух опорах
Угол  поворота  сечения  В равен   ?  = ?  = 1 / ( E J ) ? F 2 / 2?1=
 В
 S2P
= F 2 / (2 E J )  (по ходу часовой стрелки) и совпадает с  (16.13).
Пример 18.2.  Определим методом Мора-Максвелла  прогиб сечения
D  балки на двух опорах  (рис.18.6), рассмотренной в примере 17.1 (рис.17.4).
94

Для  этого  построим  грузовую  эпюру   М  (рис.18.6 б)  и единичную
 р 
М   (рис.18.6 в) .
 S
Разделим эпюру  М   на четыре треугольные и одну параболичес-
 Р
кую типа  рис.18.3 г. ( Центры  тяжести  площадей  пронумерованы).
Вычислим площади
?  = 20 ? 4 ? 2 / 3  =  53,3,  ? = 16 ? 4 / 2 = 32,  ? = 16 ? 4 / 2 = 32,
1
 2 
 3 
               ? =  — 48 ? 4 / 2  =  — 96,    ?  =  — 48 ? 3 / 2 = — 72 .
 4   
 5 
Определим ординаты   у    эпюры  М   под центрами тяжести
i
  S
площадей  ? i
у =  — 1,5 / 2  =  — 0,75  ,      у  =  — 1,5 ? 2 / 3 = — 1 ,
 1   
 2 
у = —(1,5 ? 2/3 + 3/3) = — 2 , у  = —(1,5/3 + 3 ? 2/3)  = —2,5,
 3   
 4 
у  =  — 3 ? 2 / 3  =  — 2 .
 5 
Применим формулу Верещагина (18.11)
= ? = 1/ (E J) ? ?  у = (1/ E J) [53,3 (—0,75) + 32 (—1) +
 D
 sp
 i
 i 
+ 32  (—2)  — 96 (—2,5) — 72 (—2) ]  =  248 / (E J ) .
Получилось положительное перемещение    и значит оно проис-
 D
ходит  вниз, совпадая  с  направлением  S = 1 .
Сравнивая это значение  с полученным ранее методом началь-
 D  
ных параметров,  видим,  что  расхождение   величин   составляет   всего
[(252 — 248) / 252 ]?100% = 1,6% .
Подводя итог, следует отметить, что более универсальным является
метод начальных параметров, так как позволяет определять перемещения
любого сечения балки по общим  выражениям (17.7), (17.8).
Методом Мора-Максвелла вычисляются перемещения отдельных
сечений, где приложено единичное воздействие, и поэтому необходимо
строить столько единичных эпюр, сколько перемещений требуется
определить.
Изложенные  методы  определения  перемещений  будут использо-
ваны во второй части конспекта при расчетах статически неопределимых
балок.
_________________
( [ 5 ] стр. 155 - 166 )
95

Список  рекомендуемых  учебников
 1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов. — М.: Высшая школа, 1995. 560 с.
 2. Дарков А.В., Шпиро Г.С.  Сопротивление  материалов. Изд.
5-е. — М.: Высшая школа, 1989. 624 с.
 3. Левицкий Б.А., Сторожев Н.Ф. Расчет прочности судовых стерж-
невых систем. — Новосибирск : НИИВТ, 1985. 152 с.
 4. Левицкий Б.А., Сторожев Н.Ф. Расчет прочности судовых конст-
рукций и механизмов. — Новосибирск : НИИВТ, 1986. 176 с.
 5. Степин П.А.Сопротивление материалов. Изд. 8-е. 1988. 366 с.; изд.
9-е. — М.: ”Интеграл-Пресс”, 1997. 320 с.
 6. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Изд. 9-е. — М.: На-
ука, 1986. 512 с.
 7. Сборник задач по сопротивлению материалов. Под ред. В.К.Качу-
рина.— М.: Наука, 1972. 432 с.
 8. Беляев  Н. М. Сопротивление   материалов.  Изд.  15-е. —  М.:
Наука, 1976. 607 с.
 9. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. В 2-х  томах.— М.:
Наука, 1965. Т.1-й  363 с.,  т.2-й  480 с.
10.Тимошенко С.П.,  Гере  Дж.  Механика   материалов. — М.: Мир,
1976.  669 с.
11.Курс сопротивления материалов. Под ред. М.М.Филоненко-Боро-
дича.—М.: Гостехтеориздат. Часть 1-я. 1955. 644 с. Часть 2-я. 1956.
539 с.
12.Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого
тела.—М.: Наука. Том 1-й, 1975. 832 с;  Том 2-й , 1978. 616 с.
96

Содержание
 П р е д и с л о в и е ......................................................................................3
Л е к ц и я 1. Основные понятия и предположения.  Внешние нагрузки  и
опорные  закрепления ............................................................................4
Л е к ц и я  2. Внутренние  силы  и  напряжения.  Перемещения  и
деформации ............................................................................................7
Л е к ц и я  3 . Осевое   растяжение   или   сжатие .................................. 11
Л е к ц и я  4 . Механические  характеристики  материалов .  Условия
                    прочности .........................................................................16
Л е к ц и я  5 .  Статически  неопределимые  задачи  на растяжение  или
                     сжатие ...............................................................................20
Л е к ц и я  6 .  Анализ  напряженного  состояния ..................................24
Л е к ц и я  7 . Деформированное состояние. Обобщенный  закон
                   Гука .....................................................................................32
Л е к ц и я  8 .  Деформация  сдвига .  Кручение  валов .........................37
Л е к ц и я  9 . Геометрические характеристики сечений .......................45
Л е к ц и я  10 .  Моменты  инерции  относительно  различных осей ...51
Л е к ц и я  11 .  Плоский изгиб.  Построение эпюр внутренних  сил ..56
Л е к ц и я  12.  Зависимости  между  М ,  Q  и  q ...................................62
Л е к ц и я  13.  Нормальные  напряжения  при  чистом  изгибе ...........66
Л е к ц и я  14.  Касательные напряжения  при  поперечном  изгибе ....71
Л е к ц и я  15.  Расчеты  на  прочность  при  изгибе. Рациональные
                          формы  балок ....................................................................76
Л е к ц и я  16.  Перемещения  сечений  при  изгибе ..............................81
Л е к ц и я  17 .  Метод  начальных  параметров. Универсальные
                            формулы ..........................................................................86
Л е к ц и я  18 .  Энергетический  метод  определения  перемещений .90
Список  рекомендуемых  учебников ........................................................96
97

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Ракин Алексей Степанович
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Сопротивление материалов — 1
Конспект лекций
часть 1
Редактор                              Сторожев Н.Ф.
Рисунки                              Смирновой В.И.
Ответственный за выпуск   Рудько А.В.
Компьютерная верстка        Логуновой Н.Н.
Подписано в печать 28.04.99     с оригинал-макета
Бумага офсетная № 1, формат 60 Ч 84  1/16   , печать офсетная.
Усл. печ. л. 5,8, тираж 200 экз., заказ № 109  Цена 25 руб.
Новосибирская государственная академия водного транспорта (НГАВТ),
630099 Новосибирск ул. Щетинкина, 33
Лицензия ЛР №  021257 от  27.11.97
Отпечатано в отделе оформления НГАВТ.
98

Document Outline

  • rakin1_1.pdf
    • ??????????
      •  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 
      • ? ? ? ? ? ? 1. ???????? ??????? ? ?????????????.  ??????? ????????  ?  ???????  ??????????? 
      • ? ? ? ? ? ?  2. ??????????  ????  ?  ??????????.  ???????????  ?  ?????????? 
      • ? ? ? ? ? ?  3 . ??????   ??????????   ???   ?????? 
      • ? ? ? ? ? ?  4 . ????????????  ??????????????  ?????????? .  ???????                             ????????? 
      • ? ? ? ? ? ?  5 .  ??????????  ?????????????  ??????  ?? ??????????  ???                        ?????? 
      • ? ? ? ? ? ?  6 .  ??????  ????????????  ????????? 
      • ? ? ? ? ? ?  7 . ??????????????? ?????????. ??????????  ?????                      ???? 
      • ? ? ? ? ? ?  8 .  ??????????  ?????? .  ????????  ????? 
      • ? ? ? ? ? ?  9 . ?????????????? ?????????????? ??????? 
      • ? ? ? ? ? ?  10 .  ???????  ???????  ????????????  ????????? ???? 
      • ? ? ? ? ? ?  11 .  ??????? ?????.  ?????????? ???? ??????????  ??? 
      • ? ? ? ? ? ?  12.  ???????????  ?????  ? ,  Q  ?  q 
      • ? ? ? ? ? ?  13.  ??????????  ??????????  ???  ??????  ?????? 
      • ? ? ? ? ? ?  14.  ??????????? ??????????  ???  ??????????  ?????? 
      • ? ? ? ? ? ?  15.  ???????  ??  ?????????  ???  ??????. ????????????  
      • ? ? ? ? ? ?  16.  ???????????  ???????  ???  ?????? 
      • ? ? ? ? ? ?  17 .  ?????  ?????????  ??????????. ?????????????  
      • ? ? ? ? ? ?  18 .  ??????????????  ?????  ???????????  ??????????? 
      • ??????  ?????????????  ????????? 

1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   30

Похожие:

Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconПрограммы вступительных экзаменов в аспирантуру по специальностям 01. 02. 04 Механика деформируемого твердого тела
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: механика и термодинамика сплошных сред, теория упругости, теория пластичности,...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconПрикладная математика
Загузов И. С.,Головинский В. Н., Федечев А. Ф. и др. Введение в специальность (Механика). Часть II. Механика деформируемого твердого...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconПрограмма вступительного экзамена по специальности научных работников 01. 02. 04 Механика деформируемого твердого тела «Механика разрушения, динамика и реология»
Теория напряженного и деформируемого состояний. Тензоры деформации Грина и Альманси, тензоры напряжений Коши, Пиолы и Кирхгоффа....
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconРабочая программа дисциплины
Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900. 68 Механика деформируемого твердого тела направления механика...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconРабочая программа дисциплины
Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900. 68 Механика деформируемого твердого тела направления механика...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconРабочая программа дисциплины
Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900. 68 Механика деформируемого твердого тела направления механика...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconРабочая программа дисциплины
Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900. 68 Механика деформируемого твердого тела направления механика...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconРабочая программа Экспериментальные методы в механике
Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900. 68 Механика деформируемого твердого тела направления механика...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: механика и термодинамика сплошных сред, теория упругости, теория пластичности,...
Механика деформируемого твердого тела сопротивление материалов 1 Конспект лекций Часть I iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 04 «Механика деформируемого твердого тела» по физико-математическим наукам
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©lib.znate.ru 2014
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница